2018屆平度市高三數學模擬試卷題目及答案
數學是大學聯考必考科目。那麼在大學聯考考試中,數學有哪些必考題型?此時我們可以做一套數學模擬試卷來看看數學都有哪些必考題型，以下是本站小編為你整理的2018屆平度市高三數學模擬試卷，希望能幫到你。
一、選擇題：(本題共10個小題，每小題5分，共50分，在四個選項中，只有一項是符合要求的)
1.已知集合M={x|x2﹣4x<0}，N={x||x|≤2}，則M∪N=( )
A.(﹣2，4) B.[﹣2，4) C.(0，2) D.(0，2]
2.在複平面內，複數z= ﹣2i3(i為虛數單位)表示的點位於( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.命題p：∀a∈(0，1)∪(1，+∞)，函式f(x)=loga(x﹣1)的圖象過點(2，0)，命題q：∃x∈N，x3
A.p假q假 B.p真q假 C.p假q真 D.p真q真
4.如圖中的三個直角三角形是一個體積為35cm3的幾何體的三檢視，則側檢視中的h( )
A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm
5.已知x，y滿足 ，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，則a的值是( )
A.4 B. C. D.
6.在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A=60°，a= ，b+c=3，則△ABC的面積為( )
A. B. C. D.2
7.將函式f(x)= cos(πx)圖象上所有點的橫座標伸長到原來的2倍(縱座標不變)，再把圖象上所有的點向右平移1個單位長度，得到函式g(x)的圖象，則函式g(x)的單調區間是( )
A.[4k+1，4k+3](k∈Z) B.[2k+1，2k+3](k∈Z) C.[2k+1，2k+2](k∈Z) D.[2k﹣1，2k+2](k∈Z)
8.若直線2mx﹣ny﹣2=0(m>0，n>0)過點(1，﹣2)，則 + 最小值( )
A.2 B.6 C.12 D.3+2
9.已知函式f(x)= x2+cosx，f′(x)是函式f(x)的導函式，則f′(x)的圖象大致是( )
A. B. C. D.
10.點F為雙曲線C： ﹣ =1(a，b>0)的焦點，過點F的直線與雙曲線的一條漸近線垂直且交於點A，與另一條漸近線交於點B.若3 + =0，則雙曲線C的離心率是( )
A. B. C. D.
二、填空題：(本題共5個小題，每小題5分，共25分.把每小題的答案填在答題紙的相應位置)
11.在△ABC中，若b=1，c= ，∠C= ，則a= .
12.已知實數x，y滿足不等式組 ，則2x+y的最大值為 .
13.雙曲線 的離心率為2，則雙曲線的焦點到漸近線的距離是 .
14.已知長方形ABCD中，AB=4，BC=1，M為AB的中點，則在此長方形內隨機取一點P，P與M的距離小於1的概率為 .
15.給出下列四個命題：
①命題“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”;
②函式y=f(x)的定義域為(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)，其圖象上任一點P(x，y)滿足x2﹣y2=1，則函式y=f(x)可能是奇函式;
③若a，b∈[0，1]，則不等式a2+b2< 成立的概率是
④函式y=log2(x2﹣ax+2)在[2，+∞)恆為正，則 實數a的取值範圍是(﹣∞， ).
其中真命題的序號是 .(請填上所有真命題的序號)
三、解答題(共6個題，共75分，把每題的答案填在答卷紙的相應位置)
16.植樹節期間我市組織義工參加植樹活動，為方便安排任務將所有義工按年齡分組：第l組[25，30)，第2組[30，35)，第3組[35，40)，第4組[40，45)，第5組[45，50]，得到的部分頻率分佈表如下：
區間 人數 頻率
第1組 [25，30) 50 0.1
第2組 [30，35) 50 0.1
第3組 [35，40) a 0.4
第4組 [40，45) 150 b
(1)求a，b的值;
(2)現在要從年齡較小的第l，2，3組中用分層抽樣的方法隨機抽取6人擔任聯絡人，在第l，2，3組抽取的義工的人數分別是多少?
(3)在(2)的條件下，從這6人中隨機抽取2人擔任本次活動的宣傳員，求至少有1人年齡在第3組的概率.
17.現有A，B，C三種產品需要檢測，產品數量如表所示：
產品 A B C
數量 240 240 360
已知採用分層抽樣的方法從以上產品中共抽取了7件.
(I)求三種產品分別抽取的件數;
(Ⅱ)已知抽取的A，B，C三種產品中，一等品分別有1件，2件，2件.現再從已抽取的A，B，C三種產品中各抽取1件，求3件產品都是一等品的概率.
18.如圖所示，正三稜柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分別是BC，CC1的中點.
(Ⅰ)證明：平面AEF⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ)若該三稜柱所有的稜長均為2，求三稜錐B1﹣AEF的體積.
19.已知數列{an}中，a1=2，且 .
(I)求證：數列{an﹣1}是等比數列，並求出數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設bn=n(an﹣1)，數列{bn}的前n項和為Sn，求證：1≤Sn<4.
20.已知橢圓C： ，離心率為 .
(I)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)設橢圓C的下頂點為A，直線l過定點 ，與橢圓交於兩個不同的點M、N，且滿足|AM|=|AN|.求直線l的方程.
21.已知橢圓C： + =1(a>b>0)的左焦點F1與拋物線y2=﹣4 x的焦點重合，過點F1的直線l交橢圓於A，B兩點.當直線l經過橢圓C的一個短軸端點時，與以原點O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否在x軸上存在定點M，使 • 為定值?若存在，請求出定點M及定值;若不存在，請說明理由.
2018屆平度市高三數學模擬試卷答案一、選擇題：(本題共10個小題，每小題5分，共50分，在四個選項中，只有一項是符合要求的)
1.已知集合M={x|x2﹣4x<0}，N={x||x|≤2}，則M∪N=( )
A.(﹣2，4) B.[﹣2，4) C.(0，2) D.(0，2]
【考點】1D：並集及其運算.
【分析】先求出集合M，N，再根據並集的定義求出即可.
【解答】解：集合M={x|x2﹣4x<0}=(0，4)，N={x||x|≤2}=[﹣2.2].
∴M∪N=[﹣2，4)，
故選：B
2.在複平面內，複數z= ﹣2i3(i為虛數單位)表示的點位於( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考點】A5：複數代數形式的乘除運算.
【分析】直接利用複數代數形式的乘除運算化簡複數z，求出z在複平面內對應的點的座標，則答案可求.
【解答】解：∵z= ﹣2i3= ，
∴z在複平面內對應的點的座標為：(1，3)，位於第一象限.
故選：A.
3.命題p：∀a∈(0，1)∪(1，+∞)，函式f(x)=loga(x﹣1)的圖象過點(2，0)，命題q：∃x∈N，x3
A.p假q假 B.p真q假 C.p假q真 D.p真q真
【考點】2K：命題的真假判斷與應用;4N：對數函式的圖象與性質.
【分析】根據指數函式的單調性及冪函式圖象和性質，分析命題p，q的真假，可得答案.
【解答】解：當x=2時，loga(x﹣1)=loga1=0恆成立，
故命題p：∀a∈(0，1)∪(1，+∞)，函式f(x)=loga(x﹣1)的圖象過點(2，0)，為真命題;
∀x∈N，x3≥x2恆成立，故命題q：∃x∈N，x3
故選：B
4.如圖中的三個直角三角形是一個體積為35cm3的幾何體的三檢視，則側檢視中的h( )
A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm
【考點】L7：簡單空間圖形的三檢視.
【分析】由已知中的三檢視得幾何體是三稜錐，計算出底面面積，由錐體體積公式，即可求出高.
【解答】解：由幾何體的三檢視得該幾何體是三稜錐，
其底面面積為S= ×5×6=15，高為h，
所以該幾何體的體積為
S= Sh= ×15h=35，解得h=7(cm).
故選：C.
5.已知x，y滿足 ，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，則a的值是( )
A.4 B. C. D.
【考點】7C：簡單線性規劃.
【分析】作出不等式組 對應的平面區域，利用z的幾何意義，結合目標函式z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程關係，即可得到結論.
【解答】解：作出不等式組 對應的平面區域如圖：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直線y=﹣2x+z，
由圖象可知當直線y=﹣2x+z經過點A時，直線的截距最大，
此時z最大，
由 ，解得 即A(1，1)，此時z=2×1+1=3，
當直線y=﹣2x+z經過點B時，直線的截距最小，
此時z最小，
由 ，解得 ，
即B(a，a)，此時z=2×a+a=3a，
∵目標函式z=2x+y的最大值是最小值的4倍，
∴3=4×3a，
即a= .
故選：D.
6.在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A=60°，a= ，b+c=3，則△ABC的面積為( )
A. B. C. D.2
【考點】HR：餘弦定理;HP：正弦定理.
【分析】由余弦定理可得：a2=(b+c)2﹣2bc﹣2bccosA，代入已知從而解得：bc的值，由三角形面積公式S△ABC= bcsinA即可求值.
【解答】解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣2bc﹣2bccosA，
∴代入已知有：3=9﹣3bc，從而解得：bc=2，
∴S△ABC= bcsinA= = ，
故選：B.
7.將函式f(x)= cos(πx)圖象上所有點的橫座標伸長到原來的2倍(縱座標不變)，再把圖象上所有的點向右平移1個單位長度，得到函式g(x)的圖象，則函式g(x)的單調區間是( )
A.[4k+1，4k+3](k∈Z) B.[2k+1，2k+3](k∈Z) C.[2k+1，2k+2](k∈Z) D.[2k﹣1，2k+2](k∈Z)
【考點】HJ：函式y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.
【分析】根據圖象的變換規則逐步得出函式解析式，利用正弦函式的單調性即可得解.
【解答】解：∵將函式f(x)= cos(πx)圖象上所有點的橫座標伸長到原來的`2倍(縱座標不變)，得到函式解析式為：y= cos( πx);
再把圖象上所有的點向右平移1個單位長度，得到函式的解析式為：g(x)= cos[ π(x﹣1)];
∴可得： ，
∵由2k ≤ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得：4k+1≤x≤4k+3，k∈Z，
可得函式g(x)的單調遞減區間是：[4k+1，4k+3]，k∈Z，
由2kπ﹣ ≤ ≤2k ，k∈Z，解得：4k﹣1≤x≤4k+1，k∈Z，
可得函式g(x)的單調遞增區間是：[4k﹣1，4k+1]，k∈Z，
對比各個選項，只有A正確.
故選：A.
8.若直線2mx﹣ny﹣2=0(m>0，n>0)過點(1，﹣2)，則 + 最小值( )
A.2 B.6 C.12 D.3+2
【考點】7G：基本不等式在最值問題中的應用.
【分析】根據直線2mx﹣ny﹣2=0(m>0，n>0)過點(1，﹣2)，建立m，n的關係，利用基本不等式即可求 + 的最小值.
【解答】解：∵直線2mx﹣ny﹣2=0(m>0，n>0)過點(1，﹣2)，
∴2m+2n﹣2=0，即m+n=1，
∵ + =( + )(m+n)=3+ + ≥3+2 ，
若且唯若 = ，即n= m時取等號，
∴ + 的最小值為3+2 ，
故選：D.
9.已知函式f(x)= x2+cosx，f′(x)是函式f(x)的導函式，則f′(x)的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點】3O：函式的圖象.
【分析】由於f(x)= x2+cosx，得f′(x)= x﹣sinx，由奇函式的定義得函式f′(x)為奇函式，其圖象關於原點對稱，排除BD，取x= 代入f′( )= ﹣sin = ﹣1<0，排除C，只有A適合.
【解答】解：由於f(x)= x2+cosx，
∴f′(x)= x﹣sinx，
∴f′(﹣x)=﹣f′(x)，故f′(x)為奇函式，其圖象關於原點對稱，排除BD，
又當x= 時，f′( )= ﹣sin = ﹣1<0，排除C，只有A適合，
故選：A.
10.點F為雙曲線C： ﹣ =1(a，b>0)的焦點，過點F的直線與雙曲線的一條漸近線垂直且交於點A，與另一條漸近線交於點B.若3 + =0，則雙曲線C的離心率是( )
A. B. C. D.
【考點】KC：雙曲線的簡單性質.
【分析】聯立直線方程解得A，B的座標，再由向量共線的座標表示，解得雙曲線的a，b，c和離心率公式計算即可得到所求值.
【解答】解：雙曲線C： ﹣ =1的漸近線方程為y=± x，
設F(c，0)，由OA⊥FA，
且OA的方程為y= x，OB的方程為y=﹣ x，
直線AB的方程為y=﹣ (x﹣c)，
由 解得A( ， )，
由 解得B( ，﹣ )
由3 + =0，即3 + = ，
即3( ﹣c， )+( ﹣c，﹣ )=0
可得3( ﹣c)+ ﹣c=0，
即3a2+ =4c2，
由b2=c2﹣a2，化簡可得3a4﹣5a2c2+2c4=0，
即(a2﹣c2)(3a2﹣2c2)=0，
即a2=c2，(舍)或3a2=2c2，
即c2= a2，c= a= a，可得e= = .
故選：B.
二、填空題：(本題共5個小題，每小題5分，共25分.把每小題的答案填在答題紙的相應位置)
11.在△ABC中，若b=1，c= ，∠C= ，則a= 1 .
【考點】HT：三角形中的幾何計算.
【分析】先根據b，c，∠c，由正弦定理可得sinB，進而求得B，再根據正弦定理求得a.
【解答】解：在△ABC中由正弦定理得 ，
∴sinB= ，
∵b
故B= ，則A=
由正弦定理得
∴a= =1
故答案為：1
12.已知實數x，y滿足不等式組 ，則2x+y的最大值為 5 .
【考點】7C：簡單線性規劃.
【分析】作出可行域，平行直線可得直線過點A(3，0)時，z取最大值，代值計算可得.
【解答】解：作出不等式組 ，所對應的可行域(如圖陰影)，
變形目標函式z=2x+y可得y=﹣2x+z，由 ，
可得A(2，1)平移直線y=﹣2x可知，當
直線經過點A(2，1)時，z取最大值，
代值計算可得z=2x+y的最大值為：5.
故答案為：5.
13.雙曲線 的離心率為2，則雙曲線的焦點到漸近線的距離是 3 .
【考點】KC：雙曲線的簡單性質.
【分析】求得雙曲線的a=3，由離心率公式可得c=6，解得b，求出漸近線方程和焦點，運用點到直線的距離公式，計算即可得到所求值.
【解答】解：雙曲線 的a=3，c= ，
由e= =2，即有c=2a=6，
即 =6，解得b=3 .
漸近線方程為y=± x，即為 x±3y=0，
則雙曲線的焦點(0，6)到漸近線的距離是 =3 .
故答案為：3 .
14.已知長方形ABCD中，AB=4，BC=1，M為AB的中點，則在此長方形內隨機取一點P，P與M的距離小於1的概率為 .
【考點】CF：幾何概型.
【分析】本題利用幾何概型解決，這裡的區域平面圖形的面積.欲求取到的點P到M的距離大於1的概率，只須求出圓外的面積與矩形的面積之比即可.
【解答】解：根據幾何概型得：
取到的點到M的距離小1的概率：
p= =
= = .
故答案為： .
15.給出下列四個命題：
①命題“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”;
②函式y=f(x)的定義域為(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)，其圖象上任一點P(x，y)滿足x2﹣y2=1，則函式y=f(x)可能是奇函式;
③若a，b∈[0，1]，則不等式a2+b2< 成立的概率是
④函式y=log2(x2﹣ax+2)在[2，+∞)恆為正，則 實數a的取值範圍是(﹣∞， ).
其中真命題的序號是 ①②④ .(請填上所有真命題的序號)
【考點】2K：命題的真假判斷與應用.
【分析】①根據含有量詞的命題的否定進行判斷.
②根據函式奇偶性的定義和性質結合雙曲線的圖象進行判斷.
③根據幾何概型的概率公式進行判斷.
④利用不等式恆成立，利用引數分離法進行求解判斷即可.
【解答】解：①命題“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”;故①正確，
②函式y=f(x)的定義域為(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)，其圖象上任一點P(x，y)滿足x2﹣y2=1，則函式y=f(x)可能是奇函式;正確，當點P的座標滿足y= 時，函式f(x)為奇函式.故②正確，
③若a，b∈[0，1]，則不等式 成立的概率是 .如圖.所以③錯誤
④因為函式y=log2(x2﹣ax+2)在[2，+∞)上恆為正，
所以在[2，+∞)上x2﹣ax+2>1恆成立，
即：在[2，+∞)上 恆成立，
令 ，
因為x≥2，所以 ，
所以g(x)在[2，+∞)上為增函式，
所以：當x=2時，g(x)的最小值為g(2)= ，
所以 .則實數a的取值範圍是(﹣∞， ).故④正確，
故答案為：①②④
三、解答題(共6個題，共75分，把每題的答案填在答卷紙的相應位置)
16.植樹節期間我市組織義工參加植樹活動，為方便安排任務將所有義工按年齡分組：第l組[25，30)，第2組[30，35)，第3組[35，40)，第4組[40，45)，第5組[45，50]，得到的部分頻率分佈表如下：
區間 人數 頻率
第1組 [25，30) 50 0.1
第2組 [30，35) 50 0.1
第3組 [35，40) a 0.4
第4組 [40，45) 150 b
(1)求a，b的值;
(2)現在要從年齡較小的第l，2，3組中用分層抽樣的方法隨機抽取6人擔任聯絡人，在第l，2，3組抽取的義工的人數分別是多少?
(3)在(2)的條件下，從這6人中隨機抽取2人擔任本次活動的宣傳員，求至少有1人年齡在第3組的概率.
【考點】B7：頻率分佈表.
【分析】(1)根據頻率= 求出參加活動的總人數，再求a、b的值;
(2)計算分層抽樣的抽取比例，用抽取比例乘以每組的頻數，可得每組抽取人數;
(3)利用列舉法寫出從6人中隨機抽取2人的所有基本事件，再用對立事件的概率公式計算對應的概率即可.
【解答】解：(1)根據題意知，50÷0.1=500，
所以共有500人蔘加活動;
a=500×0.4=200，b= =0.3;
(2)因為第1，2，3組共有50+50+200=300人，
利用分層抽樣在300名員工中抽取6人，每組抽取的人數分別為：
第1組的人數為6× =1，
第2組的人數為6× =1，
第3組的人數為6× =4，
∴第1，2，3組分別抽取1人，1人，4人;
(3)由(2)可設第1組的1人為A，第2組的1人為B，
第3組的4人分別為C1，C2，C3，C4，
則從6人中抽取2人的所有可能結果為：
(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，
(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，
(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，
(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共有15種.
其中2人年齡都不在第3組的有：(A，B)，共1種;
所以至少有1人年齡在第3組的概率為P=1﹣ = .
17.現有A，B，C三種產品需要檢測，產品數量如表所示：
產品 A B C
數量 240 240 360
已知採用分層抽樣的方法從以上產品中共抽取了7件.
(I)求三種產品分別抽取的件數;
(Ⅱ)已知抽取的A，B，C三種產品中，一等品分別有1件，2件，2件.現再從已抽取的A，B，C三種產品中各抽取1件，求3件產品都是一等品的概率.
【考點】CC：列舉法計算基本事件數及事件發生的概率;B3：分層抽樣方法.
【分析】(I)設出A、B產品均抽取了x件，利用分層抽樣時對應的比例相等，列出方程求出x的值即可;
(Ⅱ)對抽取的樣本進行編號，利用列舉法求出對應的事件數，計算概率即可.
【解答】解：(I)設A、B產品均抽取了x件，則C產品抽取了7﹣2x件，
則有： = ，
解得x=2;
所以A、B產品分別抽取了2件，C產品抽取了3件;
(Ⅱ)記抽取的A產品為a1，a2，其中a1是一等品;
抽取的B產品是b1，b2，兩件均為一等品;
抽取的C產品是c1，c2，c3，其中c1，c2是一等品;
從三種產品中各抽取1件的所有結果是
{a1b1c1}，{a1b1c2}，{a1b1c3}，{a1b2c1}，{a1b2c2}，{a1b2c3}，
{a2b1c1}，{a2b1c2}，{a2b1c3}，{a2b2c1}，{a2b2c2}，{a2b2c3}共12個;
根據題意，這些基本事件的出現是等可能的;
其中3件產品都是一等品的有：
{a1b1c1}，{a1b1c2}，{a1b2c1}，{a1b2c2}共4個;
因此3件產品都是一等品的概率P= = .
18.如圖所示，正三稜柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分別是BC，CC1的中點.
(Ⅰ)證明：平面AEF⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ)若該三稜柱所有的稜長均為2，求三稜錐B1﹣AEF的體積.
【考點】LF：稜柱、稜錐、稜臺的體積;LY：平面與平面垂直的判定.
【分析】(I)由BB1⊥平面ABC可知BB1⊥AE，又AE⊥BC可得AE⊥平面BCC1B1，從而平面AEF⊥平面B1BCC1;
(II)由(1)知AE為稜錐A﹣B1EF的高.於是V =V = .
【解答】解：(I)∵BB1⊥面ABC，AE⊂平面ABC，
∴AE⊥BB1，
∵E是正三角形ABC的邊BC的中點，
∴AE⊥BC，
又∵BC⊂平面B1BCC1，B1B⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，
∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B1BCC1.
(II)∵三稜柱所有的稜長均為2，
∴AE= ，
∴S =2×2﹣ ﹣ = ，
由(I)知AE⊥平面B1BCC1
∴ .
19.已知數列{an}中，a1=2，且 .
(I)求證：數列{an﹣1}是等比數列，並求出數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設bn=n(an﹣1)，數列{bn}的前n項和為Sn，求證：1≤Sn<4.
【考點】8E：數列的求和;88：等比數列的通項公式.
【分析】(I)利用遞推關係變形可得an﹣1= ，即可證明;
(II)利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式、數列的單調性即可證明.
【解答】證明：(I) ，又a1﹣1=1≠0
∴數列{an﹣1}是首項為1，公比為2的等比數列.
∴ ，得 .
(II) ，
設 …①
則 …②
①﹣②得： ，
∴ ，
，又 ，
∴數列{Sn}是遞增數列，故Sn≥S1=1，
∴1≤Sn<4.
20.已知橢圓C： ，離心率為 .
(I)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)設橢圓C的下頂點為A，直線l過定點 ，與橢圓交於兩個不同的點M、N，且滿足|AM|=|AN|.求直線l的方程.
【考點】K4：橢圓的簡單性質.
【分析】(I)由離心率公式和點滿足橢圓方程，及a，b，c的關係，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程;
(Ⅱ)討論直線的斜率不存在和存在，設出直線的方程為y=kx+ (k≠0)，與橢圓方程聯立，運用韋達定理，再由|AM|=|AN|，運用兩點的距離公式，化簡整理可得k的方程，解方程可得k，進而得到所求直線方程.
【解答】解：(I)由題意可得e= = ，
+ =1，且a2﹣b2=c2，
解得a= ，b=1，
即有橢圓的方程為 +y2=1;
(Ⅱ)若直線的斜率不存在，M，N為橢圓的上下頂點，
即有|AM|=2，|AN|=1，不滿足題設條件;
設直線l：y=kx+ (k≠0)，與橢圓方程 +y2=1聯立，
消去y，可得(1+3k2)x2+9kx+ =0，
判別式為81k2﹣4(1+3k2)• >0，化簡可得k2> ，①
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得x1+x2=﹣ ，
y1+y2=k(x1+x2)+3=3﹣ = ，
由|AM|=|AN|，A(0，﹣1)，可得
= ，
整理可得，x1+x2+(y1+y2+2)( )=0，(y1≠y2)
即為﹣ +( +2)•k=0，
可得k2= ，即k=± ，
代入①成立.
故直線l的方程為y=± x+ .
21.已知橢圓C： + =1(a>b>0)的左焦點F1與拋物線y2=﹣4 x的焦點重合，過點F1的直線l交橢圓於A，B兩點.當直線l經過橢圓C的一個短軸端點時，與以原點O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否在x軸上存在定點M，使 • 為定值?若存在，請求出定點M及定值;若不存在，請說明理由.
【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合問題;K3：橢圓的標準方程.
【分析】(1)求得拋物線的焦點座標，可得c= ，即a2﹣b2=3，求得直線經過(﹣c，0)和(0，b)的方程，運用直線和圓相切的條件：d=r，結合離心率公式可得b，a，進而得到橢圓方程;
(2)假設直線l的斜率存在，設直線的方程為y=k(x+ )，代入橢圓方程x2+4y2=4，可得x的方程，運用韋達定理，設出M(m，0)，運用向量的數量積的座標表示，化簡整理，結合定值，可得m，以及向量數量積的值;再討論直線l的斜率不存在，求得A，B，驗證成立.
【解答】解：(1)拋物線y2=﹣4 x的焦點為(﹣ ，0)，
由題意可得c= ，即a2﹣b2=3，
由直線l經過(﹣c，0)和(0，b)，可得直線l：bx﹣cy+bc=0，
直線l與原點O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切，可得
=e= = ，解得b=1，則a=2，
即有橢圓的方程為 +y2=1;
(2)當直線l的斜率存在時，設直線的方程為y=k(x+ )，
代入橢圓方程x2+4y2=4，可得(1+4k2)x2+8 k2x+12k2﹣4=0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
設M(m，0)， =(m﹣x1，﹣y1)， =(m﹣x2，﹣y2)，
• ═(m﹣x1)(m﹣x2)+y1y2=m2﹣m(x1+x2)+x1x2+k2(x1+ )(x2+ )
=m2+( k2﹣m)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+3k2
=m2+( k2﹣m)(﹣ )+(1+k2)• +3k2
= ，
要使 • 為定值，則 =4，
解得m=﹣ ，即有 • =﹣ .
當直線l的斜率不存在時，A(﹣ ，﹣ )，B(﹣ ， )，
=(﹣ ， )， =(﹣ ，﹣ )，
可得 • =﹣ .
則在x軸上存在定點M(﹣ ，0)，使得 • 為定值﹣ .
