2018屆漢中市高三理科數學模擬試卷題目及答案

要想在大學聯考數學中取得好成績，就要在最短的時間內擬定解決問題的最佳方案，實現答題效率最優化。我們可以多做一些數學模擬試卷來提升這方面的能力，以下是本站小編為你整理的2018屆漢中市高三理科數學模擬試卷，希望能幫到你。

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分)

1.已知集合A={x|(x﹣2)(x+3)<0}，B={x|y= }，則A∩(∁RB)=(　　)

A.[﹣3，﹣1] B.(﹣3，﹣1] C.(﹣3，﹣1) D.[﹣1，2]

2.已知複數z滿足z( +3i)=16i(i為虛數單位)，則複數z的模為(　　)

A. B.2 C.4 D.8

3.已知兩個隨機變數x，y之間的相關關係如表所示：

x ﹣4 ﹣2 1 2 4

y ﹣5 ﹣3 ﹣1 ﹣0.5 1

根據上述資料得到的迴歸方程為 = x+ ，則大致可以判斷(　　)

A. >0， >0 B. >0， <0 C. <0， >0 D. <0， <0

4.已知向量 =(2，﹣4)， =(﹣3，x)， =(1，﹣1)，若(2 + )⊥ ，則| |=(　　)

A.9 B.3 C. D.3

5.已知等比數列{an}的前n項積為Tn，若log2a2+log2a8=2，則T9的值為(　　)

A.±512 B.512 C.±1024 D.1024

6.執行如圖所示的程式框圖，則輸出的i的值為(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

7.已知三稜錐A﹣BCD的四個頂點在空間直角座標系O﹣xyz中的座標分別為A(2，0，2)，B(2，1，2)，C(0，2，2)，D(1，2，0)，畫該三稜錐的三檢視中的俯檢視時，以xOy平面為投影面，則得到的俯檢視可以為(　　)

A. B. C. D.

8.已知過點(﹣2，0)的直線與圓O：x2+y2﹣4x=0相切與點P(P在第一象限內)，則過點P且與直線 x﹣y=0垂直的直線l的方程為(　　)

A.x+ y﹣2=0 B.x+ y﹣4=0 C. x+y﹣2=0 D.x+ y﹣6=0

9.函式f(x)=( ﹣1)•sinx的圖象大致形狀為(　　)

A. B. C. D.

10.已知函式f(x)= sinωx﹣ cosωx(ω<0)，若y=f(x+ )的圖象與y=f(x﹣ )的圖象重合，記ω的最大值為ω0，函式g(x)=cos(ω0x﹣ )的單調遞增區間為(　　)

A.[﹣ π+ ，﹣ + ](k∈Z) B.[﹣ + ， + ](k∈Z)

C.[﹣ π+2kπ，﹣ +2kπ](k∈Z) D.[﹣ +2kπ，﹣ +2kπ](k∈Z)

11.已知雙曲線C： ﹣ =1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，點F2關於雙曲線C的一條漸近線的對稱點A在該雙曲線的左支上，則此雙曲線的離心率為(　　)

A. B. C.2 D.

12.定義在R上的函式f(x)的圖象關於y軸對稱，且f(x)在[0，+∞)上單調遞減，若關於x的不等式f(2mx﹣lnx﹣3)≥2f(3)﹣f(﹣2mx+lnx+3)在x∈[1，3]上恆成立，則實數m的取值範圍為(　　)

A.[ ， ] B.[ ， ] C.[ ， ] D.[ ， ]

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)

13.(2x﹣1)5的展開式中，含x3項的係數為　　(用數字填寫答案)

14.已知實數x，y滿足 則z= 的取值範圍為　　.

15.已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，且Sn滿足n(n+1)Sn2+(n2+n﹣1)Sn﹣1=0(n∈N*)，則S1+S2+…+S2017=　　.

16.如圖所示，三稜錐P﹣ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D是線段AB的中點，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA= ，PB= ，則三稜錐P﹣ABC的外接球的表面積為　　.

三、解答題

17.(12分)已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a、b、c成等比數列，c= bsinC﹣ccosB.

(Ⅰ)求B的大小;

(Ⅱ)若b=2 ，求△ABC的周長和麵積.

18.(12分)每年的4月23日為世界讀書日，為調查某高校學生(學生很多)的讀書情況，隨機抽取了男生，女生各20人組成的一個樣本，對他們的年閱讀量(單位：本)進行了統計，分析得到了男生年閱讀量的頻率分佈表和女生閱讀量的頻率分佈直方圖.

男生年閱讀量的頻率分佈表(年閱讀量均在區間[0，60]內)：

本/年 [0，10) [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60]

頻數 3 1 8 4 2 2

(Ⅰ)根據女生的頻率分佈直方圖估計該校女生年閱讀量的中位數;

(Ⅱ)在樣本中，利用分層抽樣的方法，從男生年與度量在[20，30)，[30，40)的兩組裡抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求[30，40)這一組中至少有1人被抽中的概率;

(Ⅲ)若年閱讀量不小於40本為閱讀豐富，否則為閱讀不豐富，依據上述樣本研究閱讀豐富與性別的關係，完成下列2×2列聯表，並判斷是否有99%的把握認為月底豐富與性別有關.

性別 閱讀量 豐富 不豐富 合計

男

女

合計

P(K2≥k0) 0.025 0.010 0.005

k0 5.024 6.635 7.879

附：K2= ，其中n=a+b+c+d.

19.(12分)已知矩形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分別為DE、CF的中點，現沿著EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小為 .

(Ⅰ)求證：PQ∥平面BCD;

(Ⅱ)求二面角A﹣DB﹣E的餘弦值.

20.(12分)已知橢圓C： + =1(a>b>0)的離心率為 ，點B是橢圓C的上頂點，點Q在橢圓C上(異於B點).

(Ⅰ)若橢圓V過點(﹣ ， )，求橢圓C的方程;

(Ⅱ)若直線l：y=kx+b與橢圓C交於B、P兩點，若以PQ為直徑的圓過點B，證明：存在k∈R， = .

21.(12分)已知函式f(x)=lnx﹣ax+ ，其中a>0.

(Ⅰ)討論函式f(x)的單調性;

(Ⅱ)證明：(1+ )(1+ )(1+ )…(1+ )

四、選修4-4：極座標與引數方程

22.(10分)已知平面直角座標系中，曲線C1的引數方程為 (φ為引數)，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極座標系，曲線C2的極座標方程為ρ=2cosθ.

(Ⅰ)求曲線C1的極座標方程與曲線C2的直角座標方程;

(Ⅱ)若直線θ= (ρ∈R)與曲線C1交於P，Q兩點，求|PQ|的長度.

選修4-5：不等式選講

23.(10分)已知函式f(x)=|3x﹣4|.

(Ⅰ)記函式g(x)=f(x)+|x+2|﹣4，在下列座標系中作出函式g(x)的圖象，並根據圖象求出函式g(x)的最小值;

(Ⅱ)記不等式f(x)<5的解集為M，若p，q∈M，且|p+q+pq|<λ，求實數λ的取值範圍.

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分)

1.已知集合A={x|(x﹣2)(x+3)<0}，B={x|y= }，則A∩(∁RB)=(　　)

A.[﹣3，﹣1] B.(﹣3，﹣1] C.(﹣3，﹣1) D.[﹣1，2]

【考點】交、並、補集的混合運算.

【分析】求出A，B中不等式的解集確定出B，找出B的補集，求出A與B補集的交集即可.

【解答】解：A={x|(x﹣2)(x+3)<0}=(﹣3，2)，B={x|y= }=(﹣1，+∞)，

∴∁RB=(﹣∞，﹣1]

∴A∩(∁RB)=(﹣3，﹣1].

故選：B.

【點評】此題考查了交、並、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵.

2.已知複數z滿足z( +3i)=16i(i為虛數單位)，則複數z的模為(　　)

A. B.2 C.4 D.8

【考點】複數求模;複數代數形式的混合運算.

【分析】利用複數運演算法則、共軛複數的定義、模的計算公式即可得出.

【解答】解：z( +3i)=16i(i為虛數單位)，∴z( +3i)( ﹣3i)=16i( ﹣3i)，∴16z=16i( ﹣3i)，∴z=3+ i.

則複數|z|= =4.

故選：C.

【點評】本題考查了複數運演算法則、共軛複數的定義、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬於基礎題.

3.已知兩個隨機變數x，y之間的相關關係如表所示：

x ﹣4 ﹣2 1 2 4

y ﹣5 ﹣3 ﹣1 ﹣0.5 1

根據上述資料得到的迴歸方程為 = x+ ，則大致可以判斷(　　)

A. >0， >0 B. >0， <0 C. <0， >0 D. <0， <0

【考點】線性迴歸方程.

【分析】利用公式求出 ， ，即可得出結論.

【解答】解：樣本平均數 =0.2， =﹣1.7，

∴ = = >0，

∴ =﹣1.7﹣ ×0.2<0，

故選：C.

【點評】本題考查線性迴歸方程的求法，考查最小二乘法，屬於基礎題.

4.已知向量 =(2，﹣4)， =(﹣3，x)， =(1，﹣1)，若(2 + )⊥ ，則| |=(　　)

A.9 B.3 C. D.3

【考點】平面向量數量積的運算.

【分析】利用向量垂直關係推出等式，求出x，然後求解向量的模.

【解答】既然：向量 =(2，﹣4)， =(﹣3，x)， =(1，﹣1)，

2 + =(1，x﹣8)，

(2 + )⊥ ，

可得：1+8﹣x=0，解得x=9.

則| |= =3 .

故選：D.

【點評】本題考查平面向量的數量積的運算，向量的模的求法，考查計算能力.

5.已知等比數列{an}的前n項積為Tn，若log2a2+log2a8=2，則T9的值為(　　)

A.±512 B.512 C.±1024 D.1024

【考點】等比數列的性質.

【分析】利用已知條件求出a2a8的值，然後利用等比數列的性質求解T9的值.

【解答】解：log2a2+log2a8=2，

可得log2(a2a8)=2，

可得：a2a8=4，則a5=±2，

等比數列{an}的前9項積為T9=a1a2…a8a9=(a5)9=±512.

故選：A.

【點評】本題考查的等比數列的性質，數列的應用，考查計算能力.

6.執行如圖所示的程式框圖，則輸出的i的值為(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

【考點】程式框圖.

【分析】模擬執行程式的執行過程，即可得出程式執行後輸出的i值.

【解答】解：模擬執行程式的執行過程，如下;

S=1，i=1，S<30;

S=2，i=2，S<30;

S=4，i=3，S<30;

S=8，i=4，S<30;

S=16，i=5，S<30;

S=32，i=6，S≥30;

終止迴圈，輸出i=6.

故選：B

【點評】本題主要考查了程式框圖的應用問題，模擬程式的執行過程是解題的常用方法.

7.已知三稜錐A﹣BCD的四個頂點在空間直角座標系O﹣xyz中的座標分別為A(2，0，2)，B(2，1，2)，C(0，2，2)，D(1，2，0)，畫該三稜錐的三檢視中的俯檢視時，以xOy平面為投影面，則得到的俯檢視可以為(　　)

A. B. C. D.

【考點】簡單空間圖形的三檢視.

【分析】找出各點在xoy平面內的投影得出俯檢視.

【解答】解：由題意，A(2，0，2)，B(2，1，2)，C(0，2，2)，D(1，2，0)在xOy平面上投影座標分別為A(2，0，0)，B(2，1，0)，C(0，2，0)，D(1，2，0).

故選：C.

【點評】本題考查了三檢視的定義，簡單幾何體的三檢視，屬於基礎題.

8.已知過點(﹣2，0)的直線與圓O：x2+y2﹣4x=0相切與點P(P在第一象限內)，則過點P且與直線 x﹣y=0垂直的直線l的方程為(　　)

A.x+ y﹣2=0 B.x+ y﹣4=0 C. x+y﹣2=0 D.x+ y﹣6=0

【考點】圓的切線方程.

【分析】求出P的座標，設直線l的方程為x+ y+c=0，代入P，求出c，即可求出直線l的`方程.

【解答】解：由題意，切線的傾斜角為30°，∴P(1， ).

設直線l的方程為x+ y+c=0，代入P，可得c=﹣4，

∴直線l的方程為x+ y﹣4=0，

故選B.

【點評】本題考查直線與圓的位置關係，考查直線方程，考查學生的計算能力，屬於中檔題.

9.函式f(x)=( ﹣1)•sinx的圖象大致形狀為(　　)

A. B. C. D.

【考點】函式的圖象.

【分析】先判斷函式的奇偶性，再取特殊值驗證.

【解答】解：∵f(x)=( ﹣1)•sinx，

∴f(﹣x)=( ﹣1)•sin(﹣x)=﹣( ﹣1)sinx=( ﹣1)•sinx=f(x)，

∴函式f(x)為偶函式，故排除C，D，

當x=2時，f(2)=( ﹣1)•sin2<0，故排除B，

故選：A

【點評】本題考查了函式圖象的識別，關鍵掌握函式的奇偶性和函式值的特點，屬於基礎題.

10.已知函式f(x)= sinωx﹣ cosωx(ω<0)，若y=f(x+ )的圖象與y=f(x﹣ )的圖象重合，記ω的最大值為ω0，函式g(x)=cos(ω0x﹣ )的單調遞增區間為(　　)

A.[﹣ π+ ，﹣ + ](k∈Z) B.[﹣ + ， + ](k∈Z)

C.[﹣ π+2kπ，﹣ +2kπ](k∈Z) D.[﹣ +2kπ，﹣ +2kπ](k∈Z)

【考點】函式y=Asin(ωx+φ)的圖象變換;餘弦函式的單調性.

【分析】利用三角恆等變換化簡f(x)的解析式，利用正弦函式的週期性求得ω的值，再利用餘弦函式的單調性，求得函式g(x)的增區間.

【解答】解：函式f(x)= sinωx﹣ cosωx(ω<0)=2sin(ωx﹣ )，

若y=f(x+ )的圖象與y=f(x﹣ )的圖象重合，

則 為函式f(x)的週期，即 =k•| |，∴ω=±4k，k∈Z.

記ω的最大值為ω0，則ω0=﹣4，

函式g(x)=cos(ω0x﹣ )=cos(﹣4x﹣ )=cos(4k+ ).

令2kπ﹣π≤4x+ ≤2kπ，求得 ﹣ ≤x≤ ﹣ ，

故函式g(x)的增區間為[ ﹣ ， ﹣ ]，k∈Z.

故選：A.

【點評】本題主要考查三角恆等變換，正弦函式的週期性，餘弦函式的單調性，屬於中檔題.

11.已知雙曲線C： ﹣ =1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，點F2關於雙曲線C的一條漸近線的對稱點A在該雙曲線的左支上，則此雙曲線的離心率為(　　)

A. B. C.2 D.

【考點】雙曲線的簡單性質.

【分析】設F(﹣c，0)，漸近線方程為y= x，對稱點為F'(m，n)，運用中點座標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，求出對稱點的座標，代入雙曲線的方程，由離心率公式計算即可得到所求值.

【解答】解：設F(﹣c，0)，漸近線方程為y= x，

對稱點為F'(m，n)，

即有 =﹣ ，

且 •n= • ，

解得m= ，n=﹣ ，

將F'( ，﹣ )，即( ，﹣ )，

代入雙曲線的方程可得 ﹣ =1，

化簡可得 ﹣4=1，即有e2=5，

解得e= .

故選：D.

【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用中點座標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，以及點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運算能力，屬於中檔題.

12.定義在R上的函式f(x)的圖象關於y軸對稱，且f(x)在[0，+∞)上單調遞減，若關於x的不等式f(2mx﹣lnx﹣3)≥2f(3)﹣f(﹣2mx+lnx+3)在x∈[1，3]上恆成立，則實數m的取值範圍為(　　)

A.[ ， ] B.[ ， ] C.[ ， ] D.[ ， ]

【考點】函式恆成立問題.

【分析】由條件利用函式的奇偶性和單調性，可得0≤2mx﹣lnx≤6對x∈[1，3]恆成立，2m≥ 且2m≤ 對x∈[1，3]恆成立.求得相應的最大值和最小值，從而求得m的範圍.

【解答】解：∴定義在R上的函式f(x)的圖象關於y軸對稱，

∴函式f(x)為偶函式，

∵函式數f(x)在[0，+∞)上遞減，

∴f(x)在(﹣∞，0)上單調遞增，

若不等式f(2mx﹣lnx﹣3)≥2f(3)﹣f(﹣2mx+lnx+3)對x∈[1，3]恆成立，

即f(2mx﹣lnx﹣3)≥f(3)對x∈[1，3]恆成立.

∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3對x∈[1，3]恆成立，

即0≤2mx﹣lnx≤6對x∈[1，3]恆成立，

即2m≥ 且2m≤ 對x∈[1，3]恆成立.

令g(x)= ，則 g′(x)= ，在[1，e)上遞增，(e，3]上遞減，∴g(x)max= .

令h(x)= ，h′(x)= <0，在[1，3]上遞減，∴h(x)min= .

綜上所述，m∈[ ， ].

故選D.

【點評】本題主要考查函式的奇偶性和單調性的綜合應用，函式的恆成立問題，體現了轉化的數學思想，屬於中檔題.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)

13.(1+x﹣30x2)(2x﹣1)5的展開式中，含x3項的係數為　﹣260　(用數字填寫答案)

【考點】二項式定理的應用.

【分析】分析x3得到所有可能情況，然後得到所求.

【解答】解：(1+x﹣30x2)(2x﹣1)5的展開式中，含x3項為 ﹣30x2 =80x3﹣40x3﹣300x3=﹣260x3，

所以x3的係數為﹣260;

故答案為：﹣260.

【點評】本題考查了二項式定理;注意各種可能.

14.已知實數x，y滿足 則z= 的取值範圍為　[ ]　.

【考點】簡單線性規劃.

【分析】由約束條件作出可行域，再由z= 的幾何意義，即可行域內的動點與定點P(﹣2，﹣1)連線的斜率求解.

【解答】解：由約束條件 作出可行域如圖：

A(2，0)，

聯立 ，解得B(5，6)，

z= 的幾何意義為可行域內的動點與定點P(﹣2，﹣1)連線的斜率，

∵ ，

∴z= 的取值範圍為[ ].

故答案為：[ ].

【點評】本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題.

15.已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，且Sn滿足n(n+1)Sn2+(n2+n﹣1)Sn﹣1=0(n∈N*)，則S1+S2+…+S2017=　 　.

【考點】數列遞推式;數列的求和.

【分析】n(n+1)Sn2+(n2+n﹣1)Sn﹣1=0(n∈N*)，可得[n(n+1)Sn﹣1](Sn+1)=0，Sn>0.可得Sn= = ﹣ .利用“裂項求和”方法即可得出.

【解答】解：∵n(n+1)Sn2+(n2+n﹣1)Sn﹣1=0(n∈N*)，

∴[n(n+1)Sn﹣1](Sn+1)=0，Sn>0.

∴n(n+1)Sn﹣1=0，

∴Sn= = ﹣ .

∴S1+S2+…+S2017= +…+ = .

故答案為： .

【點評】本題考查了數列遞推關係、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬於中檔題.

16.如圖所示，三稜錐P﹣ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D是線段AB的中點，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA= ，PB= ，則三稜錐P﹣ABC的外接球的表面積為　13π　.

【考點】球內接多面體;球的體積和表面積.

【分析】由題意得PA2+PB2=AB2，即可得D為△PAB的外心，在CD上取點O1，使O1為等邊三角形ABC的中心，在△DEC中，過D作直線與DE垂直，過O1作直線與DC垂直，兩條垂線交於點O，則O為球心，在△DEC中求解OC，即可得到球半徑，

【解答】解：由題意，PA2+PB2=AB2，因為 ，∴AD⊥面DEC，

∵AD⊂PAB，AD⊂ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，

在CD上取點O1，使O1為等邊三角形ABC的中心，

∵D為△PAB斜邊中點，∴在△DEC中，過D作直線與DE垂直，過O1作直線與DC垂直，兩條垂線交於點O，則O為球心.

∵∠EDC=90°，∴ ，

又∵ ，∴OO1= ，三稜錐P﹣ABC的外接球的半徑R= ，

三稜錐P﹣ABC的外接球的表面積為4πR2=13π，

故答案為：13π.

【點評】本題考查了幾何體的外接球的表面積，解題關鍵是要找到球心，求出半徑，屬於難題.

三、解答題

17.(12分)(2017•內蒙古模擬)已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a、b、c成等比數列，c= bsinC﹣ccosB.

(Ⅰ)求B的大小;

(Ⅱ)若b=2 ，求△ABC的周長和麵積.

【考點】正弦定理;三角形中的幾何計算.

【分析】(Ⅰ)根據題意，由正弦定理可得sinC= sinBsinC﹣sinCcosB，進而變形可得1= sinC﹣cosB，由正弦的和差公式可得1=2sin(B﹣ )，即可得B﹣ 的值，計算可得B的值，即可得答案;

(Ⅱ)由余弦定理可得(a+c)2﹣3ac=12，又由a、b、c成等比數列，進而可以變形為12=(a+c)2﹣36，解可得a+c=4 ，進而計算可得△ABC的周長l=a+b+c，由面積公式S△ABC= acsinB= b2sinB計算可得△ABC的面積.

【解答】解：(Ⅰ)根據題意，若c= bsinC﹣ccosB，

由正弦定理可得sinC= sinBsinC﹣sinCcosB，

又由sinC≠0，則有1= sinC﹣cosB，

即1=2sin(B﹣ )，

則有B﹣ = 或B﹣ = ，即B= 或π(舍)

故B= ;

(Ⅱ)已知b=2 ，則b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=(a+c)2﹣3ac=12，

又由a、b、c成等比數列，即b2=ac，

則有12=(a+c)2﹣36，解可得a+c=4 ，

所以△ABC的周長l=a+b+c=2 +4 =6 ，

面積S△ABC= acsinB= b2sinB=3 .

【點評】本題考查正弦、餘弦定理的應用，關鍵利用三角函式的恆等變形正確求出B的值.

18.(12分)(2017•漢中一模)每年的4月23日為世界讀書日，為調查某高校學生(學生很多)的讀書情況，隨機抽取了男生，女生各20人組成的一個樣本，對他們的年閱讀量(單位：本)進行了統計，分析得到了男生年閱讀量的頻率分佈表和女生閱讀量的頻率分佈直方圖.

男生年閱讀量的頻率分佈表(年閱讀量均在區間[0，60]內)：

本/年 [0，10) [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60]

頻數 3 1 8 4 2 2

(Ⅰ)根據女生的頻率分佈直方圖估計該校女生年閱讀量的中位數;

(Ⅱ)在樣本中，利用分層抽樣的方法，從男生年與度量在[20，30)，[30，40)的兩組裡抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求[30，40)這一組中至少有1人被抽中的概率;

(Ⅲ)若年閱讀量不小於40本為閱讀豐富，否則為閱讀不豐富，依據上述樣本研究閱讀豐富與性別的關係，完成下列2×2列聯表，並判斷是否有99%的把握認為月底豐富與性別有關.

性別 閱讀量 豐富 不豐富 合計

男

女

合計

P(K2≥k0) 0.025 0.010 0.005

k0 5.024 6.635 7.879

附：K2= ，其中n=a+b+c+d.

【考點】獨立性檢驗.

【分析】(Ⅰ)求出前三組頻率之和，即可根據女生的頻率分佈直方圖估計該校女生年閱讀量的中位數;

(Ⅱ)確定基本事件的個數，即可求[30，40)這一組中至少有1人被抽中的概率;

(Ⅲ)根據所給資料得出2×2列聯表，求出K2，即可判斷是否有99%的把握認為月底豐富與性別有關.

【解答】解：(Ⅰ)前三組頻率之和為0.1+0.2+0.25=0.55，

∴中位數位於第三組，設中位數為a，則 = ，

∴a=38，

∴估計該校女生年閱讀量的中位數為38;

(Ⅱ)利用分層抽樣的方法，從男生年與度量在[20，30)，[30，40)的兩組裡抽取6人，從這6人中隨機抽取2人，共有方法 =15種，各組分別為4人，2人，[30，40)這一組中至少有1人被抽中的概率1﹣ = ;

(Ⅲ)

性別 閱讀量 豐富 不豐富 合計

男 4 16 20

女 9 11 20

合計 13 27 40

K2= ≈2.849<6.635，

∴沒有99%的把握認為月底豐富與性別有關.

【點評】本題考查頻率分佈直方圖，考查概率的計算，考查獨立性檢驗知識的運用，屬於中檔題.

19.(12分)(2017•內蒙古模擬)已知矩形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分別為DE、CF的中點，現沿著EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小為 .

(Ⅰ)求證：PQ∥平面BCD;

(Ⅱ)求二面角A﹣DB﹣E的餘弦值.

【考點】二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定.

【分析】(Ⅰ)取EB的中點M，連線PM，QM，證明：平面PMQ∥平面BCD，即可證明PQ∥平面BCD;

(Ⅱ)建立座標系，利用向量方法，即可求二面角A﹣DB﹣E的餘弦值.

【解答】(Ⅰ)證明：取EB的中點M，連線PM，QM，

∵P為DE的中點，

∴PM∥BD，

∵PM⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，

∴PM∥平面BCD，

同理MQ∥平面BCD，

∵PM∩MQ=M，

∴平面PMQ∥平面BCD，

∵PQ⊂平面PQM，

∴PQ∥平面BCD;

(Ⅱ)解：在平面DFC內，過F作FC的垂線，則∠DFC= ，建立座標系，則E(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，D(0，﹣1，﹣ )，A(2，﹣1， )，

∴ =(﹣2，﹣2， )， =(0，2，﹣ )， =(0，1，0)，

設平面DAB的一個法向量為 =(x，y，z)，則 ，取 =(0， ， )，

同理平面DBE的一個法向量為 =( ，0， )，

∴cos< ， >= = ，

∴二面角A﹣DB﹣E的餘弦值為 .

【點評】本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小的求法，考查向量方法的運用，是中檔題.

20.(12分)(2017•內蒙古模擬)已知橢圓C： + =1(a>b>0)的離心率為 ，點B是橢圓C的上頂點，點Q在橢圓C上(異於B點).

(Ⅰ)若橢圓V過點(﹣ ， )，求橢圓C的方程;

(Ⅱ)若直線l：y=kx+b與橢圓C交於B、P兩點，若以PQ為直徑的圓過點B，證明：存在k∈R， = .

【考點】直線與橢圓的位置關係.

【分析】(Ⅰ)由橢圓的離心率公式求得a和b的關係，將(﹣ ， )代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程;

(Ⅱ)將直線方程代入橢圓方程，求得P的橫座標，求得丨BP丨，利用直線垂直的斜率關係求得丨BQ丨，由 = ，根據函式零點的判斷即可存在k∈R， = .

【解答】解：(Ⅰ)橢圓的離心率e= = = ，則a2=2b2，

將點(﹣ ， )代入橢圓方程 ，解得：a2=4，b2=2，

∴橢圓的標準方程為： ，

(Ⅱ)由題意的對稱性可知：設存在存在k>0，使得 = ，

由a2=2b2，橢圓方程為： ，

將直線方程代入橢圓方程，整理得：(1+2k2)x2+4kbx=0，

解得：xP=﹣ ，則丨BP丨= × ，

由BP⊥BQ，則丨BQ丨= ×丨 丨= • ，

由 = .，則2 × = • ，

整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0，

設f(x)=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f( )<0，f( )>0，

∴函式f(x)存在零點，

∴存在k∈R， = .

【點評】本題考查橢圓的標準方程及橢圓的離心率，考查直線與橢圓的位置關係，弦長公式，考查函式零點的判斷，考查計算能力，屬於中檔題.

21.(12分)(2017•內蒙古模擬)已知函式f(x)=lnx﹣ax+ ，其中a>0.

(Ⅰ)討論函式f(x)的單調性;

(Ⅱ)證明：(1+ )(1+ )(1+ )…(1+ )

【考點】利用導數求閉區間上函式的最值;利用導數研究函式的單調性.

【分析】(Ⅰ)求出函式的導數，通過討論a的範圍，求出函式的單調區間即可;

(Ⅱ)求出lnx< x﹣ ，令x=1+ (n≥2)，得到ln(1+ )< ( ﹣ )，累加即可證明結論.

【解答】解：(Ⅰ)函式f(x)的定義域是(0，+∞)，

f′(x)= ，令h(x)=﹣ax2+x﹣a，

記△=1﹣4a2，當△≤0時，得a≥ ，

若a≥ ，則﹣ax2+x﹣a≤0，f′(x)≤0，

此時函式f(x)在(0，+∞)遞減，

當0

顯然x1>x2>0，故此時函式f(x)在( ， )遞增，

在(0， )和( ，+∞)遞減;

綜上，0

在(0， )和( ，+∞)遞減，

a≥ 時，函式f(x)在(0，+∞)遞減;

(Ⅱ)證明：令a= ，由(Ⅰ)中討論可得函式f(x)在區間(0，+∞)遞減，

又f(1)=0，從而當x∈(1，+∞)時，有f(x)<0，即lnx< x﹣ ，

令x=1+ (n≥2)，

則ln(1+ )< (1+ )﹣ =

= ( + )< = ( ﹣ )，

從而：ln(1+ )+ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )

< (1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ + ﹣ )

= (1+ ﹣ ﹣ )< (1+ )= ，

則有ln(1+ )+ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )< ，

可得(1+ )(1+ )(1+ )…(1+ )

【點評】本題考查了函式的單調性問題，考查不等式的證明以及導數的應用，是一道中檔題.

四、選修4-4：極座標與引數方程

22.(10分)(2017•內蒙古模擬)已知平面直角座標系中，曲線C1的引數方程為 (φ為引數)，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極座標系，曲線C2的極座標方程為ρ=2cosθ.

(Ⅰ)求曲線C1的極座標方程與曲線C2的直角座標方程;

(Ⅱ)若直線θ= (ρ∈R)與曲線C1交於P，Q兩點，求|PQ|的長度.

【考點】簡單曲線的極座標方程;引數方程化成普通方程.

【分析】(I)曲線C1的引數方程為 (φ為引數)，利用平方關係消去φ可得普通方程，展開利用互化公式可得極座標方程.曲線C2的極座標方程為ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得直角座標方程.

(II)把直線θ= (ρ∈R)代入 ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|= 即可得出.

【解答】解：(I)曲線C1的引數方程為 (φ為引數)，利用平方關係消去φ可得： +(y+1)2=9，展開為：x2+y2﹣2 x+2y﹣5=0，可得極座標方程： ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0.

曲線C2的極座標方程為ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角座標方程：x2+y2=2x.

(II)把直線θ= (ρ∈R)代入 ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，

整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，

∴ρ1+ρ2=2，ρ1•ρ2=﹣5，

∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|= = =2 .

【點評】本題考查了直角座標方程化為極座標方程及其應用、引數方程化為普通方程、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬於中檔題.

選修4-5：不等式選講

23.(10分)(2017•內蒙古模擬)已知函式f(x)=|3x﹣4|.

(Ⅰ)記函式g(x)=f(x)+|x+2|﹣4，在下列座標系中作出函式g(x)的圖象，並根據圖象求出函式g(x)的最小值;

(Ⅱ)記不等式f(x)<5的解集為M，若p，q∈M，且|p+q+pq|<λ，求實數λ的取值範圍.

【考點】函式的圖象.

【分析】(Ⅰ)根據函式解析式作出函式g(x)的圖象，並根據圖象求出函式g(x)的最小值;

(Ⅱ)記不等式f(x)<5的解集為M，可得p，q∈(﹣ ，3)，若p，q∈M，且|p+q+pq|<λ，利用絕對值不等式，即可求實數λ的取值範圍.

【解答】解：(Ⅰ)函式g(x)=f(x)+|x+2|﹣4=|3x﹣4|+|x+2|﹣4，

圖象如圖所示，

由圖象可得，x= ，g(x)有最小值﹣ ;

(Ⅱ)由題意，|3x﹣4|<5，可得﹣

∴|p+q+pq|≤|p|+|q|+|pq|<3+3+3×3=15，

∴λ≥15.

【點評】本題考查函式的圖象，考查絕對值不等式的運用，考查數形結合的數學思想，屬於中檔題.