2017考研高數考點：多元函式微分法的七大定理

2017年考研正在如火如荼地進行中，為了幫助考生們更有準備地參加數學考試，下面YJBYS小編為大家搜尋整理了關於高數多元函式微分法考點的七大定理，歡迎參考學習，希望對大家有所幫助!想了解更多相關資訊請持續關注我們應屆畢業生培訓網!

　　▶極限存在條件

●極限存在是指P(x,y)以任何方式趨於P0(x0,y0)時，函式都無限接近於A，如果P(x,y)以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨於P0(x0,y0)時，即使函式無限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函式極限存在。反過來，如果當P(x,y)以不同方式趨於P0(x0,y0)時，函式趨於不同的值，那麼就可以斷定這函式的極限不存在。例如函式：f(x,y)={0 (xy)/(x^2+y^2) x^2+y^2≠0}

　　▶連續性

●定義設函式f(x,y)在開區域(或閉區域)D內有定義，P0(x0,y0)是D的內點或邊界點且P0∈D，如果lim(x→x0,y→y0)f(x,y)=f(x0,y0)則稱f(x,y)在點P0(x0,y0)連續。

●性質(最大值和最小值定理)在有界閉區域D上的多元連續函式，在D上一定有最大值和最小值。

●性質(介值定理)在有界閉區域D上的多元連續函式，如果在D上取得兩個不同的函式值，則它在D上取得介於這兩個值之間的任何值至少一次。

　　▶連續與可導

●如果一元函式在某點具有導數，則它在該點必定連續，但對於多元函式來說，即使各偏導數在某點都存在，也不能保證函式在該點連續。這是因為各偏導數存在只能保證點P沿著平行於座標軸的'方向趨於P0時，函式值f(P)趨於f(P0)，但不能保證點P按任何方式趨於P0時，函式值f(P)都趨於f(P0)。

　　▶可微的必要條件

●一元函式在某點的導數存在是微分存在的充分必要條件，但多元函式各偏導數存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件，即可微=>可偏導。

　　▶可微的充分條件

●定理(充分條件)如果函式z=f(x,y)的偏導數存在且在點(x,y)連續，則函式在該點可微分。

　　▶極值存在的必要、充分條件

●定理(必要條件)設函式z=f(x,y)在點(x0,y0)具有偏導數，且在點(x0,y0)處有極值，則它在該點的偏導數必為零。

●定理(充分條件)設函式z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數，又fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0，令fxx(x0,y0)=0=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C，則f(x,y)在點(x0,y0)處是否取得極值的條件如下：

1、AC-B2>0時具有極值，且當A<0時有極大值，當a>0時有極小值;

2、AC-B2<0時沒有極值;< p="">

3、AC-B2=0時可能有也可能沒有。

　　▶多元函式極值存在的解法

1、解方程組fx(x,y)=0，fy(x,y)=0求的一切實數解，即可求得一切駐點。

2、對於每一個駐點(x0,y0)，求出二階偏導數的值A、B、C。

3、定出AC-B2的符號，按充分條件進行判定f(x0,y0)是否是極大值、極小值。

注意：在考慮函式的極值問題時，除了考慮函式的駐點外，如果有偏導數不存在的點，那麼對這些點也應當考慮在內。