數學思想方法與數學各個領域的聯絡

（1） 回憶學過的數，溝通整數、小數、分數的聯絡，突出數的應用，重視培養數感。

本單元編排數的認識這一節，要複習這些數的意義，形成清晰的數概念。先讓學生說說學過了哪些數，以及對這些數和相互聯絡的認識，四個卡通的交流是學生的初步回憶，在初步回憶的基礎上，教材提出三個討論題，進一步梳理知識。表示整數和小數都應用十進位制計數法，在討論題（1）裡應該聯絡具體的整數和小數，複習計數單位和數位的知識，理解相鄰計數單位間的進率都是10；還要分析整數和小數的組成，體會十進位制計數法，正確掌握讀數方法。百分數只表示一個數是另一個數的百分之幾，也就是隻表示兩個數的比，不表示具體的數量。這既是百分數與分數的聯絡，也是它們的區別。討論題（2）要聯絡例項進行比較，如把1噸煤平均分成5份，用去其中的1份，用去了這些煤的1/5，是1/5噸。如果用百分數來表示，只能是用去了這些煤的20%，不能說用去了20%噸。在小數的末尾添上0或者去掉0，只改變小數的計數單位，不改變小數的大小。如0.50是50/100，而0.500是50０/1000，0.5是5/10。小數的性質與分數的基本性質是一致的，可以用對應排列的兩組等式來說明.討論題（3）用分數的基本性質說明小數的性質，能進一步理解小數意義以及小數與分數的聯絡。

練習與實踐編排了14道習題，進一步複習數的知識。涉及的內容有數的意義和表示方法，數的改寫與求近似數，數的大小比較，通過移動小數點的位置計算一個數乘（或除以）10、100、1000，因數與倍數的概念以及有關的知識。教學這些題要注意兩點，一是先讓學生獨立解答，再組織交流，進行必要的評講。第1題要說說填數時的思考，利用直線下面的整數，理解負數是與正數意義相反的數，是比0小的數；利用直線上面的數理解真分數、假分數的意義；把直線上、下的分數和小數聯絡起來，理解數之間的關係。第9題要體會改變大數的單位或求大數的近似數，能方便對數的理解或讀、寫。第10題裡包含許多概念，要理解素數與合數、奇數和偶數是按不同標準對數進行分類，還要整理因數與倍數、公因數與公倍數的概念和相互關係。二是讓學生體會數的實際應用，發展數感。第3題解釋車票和商品標識上的數的具體含義，第4題自主收集用數表達的資訊，能讓學生體驗數描述了生活中的現象、事物，感受用數表達和交流資訊，既方便又準確。第12題體會各組數的發展趨勢，第13題藉助直觀圖形進行估計，第14題結合圖形感受數的大小，這些題把發展數感落實到應用知識解決實際問題的過程中。

（2） 整理數的運算知識，培養計算能力和解決實際問題的能力。

數的運算分兩段複習，第一段複習四則計算，第二段複習四則混合運算和運算律。

複習四則計算，第87頁練習與實踐從兩方面培養計算能力，一是通過第1~4題練習口算、筆算和估算，使學生能正確計算，並具有驗算的習慣。對口算的基本要求是：能計算百以內的兩位數加、減兩位數以及相應的小數加、減法，能計算百以內的兩位數乘一位數、兩位數除以一位數以及相應的小數乘、除法，能進行比較簡單的分數四則計算。對筆算的基本要求是：能計算三位數的加、減法及相應的小數加、減法，能計算三位數乘兩位數、三位數除以兩位數及相應的小數乘、除法，能進行分數的四則計算。對整數四則計算的估算要求是：把參與運算的數看作最接近的整百數或整十數，通過口算得到結果大約是多少。二是通過第5題學會從實際問題和自己的計算水平出發，選擇比較適宜的計算方式，省力而高效地解決實際問題。對大多數學生而言，第（1）題可以口算，第（2）題可以估算，第（3）題可以筆算，第（4）題可以使用計算器。個別學生解答第（2）題用筆算、第（3）題用口算也是允許的。第89頁練習與實踐第1、2題，讓學生選擇合適的方法計算，從中可以獲得兩點體會：第一，運算順序是進行混合運算的一般規則，而運算律能改變原來的運算順序；第二，簡便運算是有條件地進行的，在計算時要認真審題，發現和利用可以簡便計算的條件與機會。教學第7-12題要充分發揮一題多問或題組的作用，通過比較、梳理強化概念和解題思路。

（3） 複習式與方程的知識，發展解決問題的策略。

在這一節教材裡，通過三個問題提取用字母表示數的經驗，整理方程與等式的聯絡和區別，回憶學過的等式性質，這些都用舉例說明的方式進行。含有字母的式子不僅能表示周長、面積、體積的計算公式，能表示運算律，還能表示常用的數量關係。練習與實踐第1題用字母表示數量關係，是列方程解決實際問題的基礎，教學這道題要讓學生說說式子裡的字母表示什麼數量，式子表示什麼數量，式子是根據什麼數量關係寫的，以及用字母表示數應遵循的書寫規則。第2題要解釋解方程的過程，說說等式的兩邊同時加上或減去了幾、同時乘或除以了幾。列方程是解決實際問題的常用方法，列方程的思考和列算式不同，要利用題目中最主要的數量關係作為列方程的依據。

（4） 複習正比例和反比例，把握變化著的現象裡的不變特徵。

複習比的知識抓住三點進行，一是舉例項說說什麼是比，既要有兩個同類數量的比，也要有兩個不同類數量的比，使學生對比的含義有比較全面的理解。二是通過改寫a∶b，溝通比與分數、除法的關係，從除數不能是0體會分母、比的.後項也不能是0。三是找出比的基本性質、分數的基本性質、商不變的規律之間的內在聯絡，完善認知結構。

複習正比例和反比例，重點是它們的意義。再通過第7、8題的判斷，進一步鞏固正比例和反比例的概念。第9題複習正比例的影象，其中汽車行駛的路程和耗油量是否成正比例，要利用影象找出幾組相對應的數，組成比並求出比值，根據正比例的意義進行判斷。

2． “空間與圖形”領域。

“空間與圖形”領域的內容分圖形的認識、測量、圖形與變換、圖形與位置三節編排複習。

（1） 分層複習圖形知識，溝通平面圖形間的聯絡。

複習圖形知識按“線—角—形”的線索進行。

複習直線、射線和線段的特徵，一方面要突出它們都是直的線，另一方面要清楚它們的區別在於有、無端點和有幾個端點。平行與相交，是同一平面內兩條直線的常見位置關係。學生舉例說說同一平面內兩條直線的位置關係，有可能只說出平行與垂直，也有可能說成平行、相交、垂直。如果出現這些情況，應適當予以糾正。

複習角的認識把這兩種認識結合起來，“圍繞角的頂點旋轉角的一條邊”要先出現角的圖形，指出它的頂點和兩條邊，然後使角的頂點和一條邊固定不動，另一條邊旋轉，讓學生體會角的大小發生了變化，從而理解角的大小是它兩條邊的叉開程度。複習角的分類可以分三步進行，第一步隨著活動角從小到大地變化依次回憶銳角、直角、鈍角、平角與周角。第二步分別說出直角、平角和周角的度數，整理這三類角的大小關係。第三步描述銳角和鈍角，突出鈍角大於90°、小於180°。

回憶三角形的知識時，出現了兩張集合圖。左邊的圖表示了三角形的分類，曾經在四年級（下冊）出現過，可以利用這幅圖讓學生說說三角形是怎樣分類的，以及各類三角形的特徵。右邊的圖第一次在教材中出現，表示等腰三角形是特殊的三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形。教材還提出兩個討論題，在問題（1）裡“任意兩邊的長度之和大於第三邊”是三角形的三邊關係，也是三條線段能夠圍成三角形的必備條件。要引導學生注意“任意”的含義，並應用到練習與實踐第8題的解答中去。提出問題（2）有兩個目的：一是進一步理解三角形的分類，在直角三角形和鈍角三角形裡也都有兩個銳角；二是複習三角形內角和180°，用內角和的知識可以解釋一個三角形裡最多有一個直角或一個鈍角。

整理四邊形的知識，設計了一張反映這些特殊四邊形的關係圖，從圖中可以看到，如果四邊形的兩組對邊分別平行就是平行四邊形；如果只有一組對邊平行就是梯形。如果平行四邊形的角都是直角就是長方形，如果長方形的長與寬相等就是正方形。學生說出各個圖形的名稱和特徵並不難，要把教學精力放在理解圖形間的關係上，深入地認識四邊形。

（2） 複習平面圖形的周長、面積，突出概念和思想方法。

複習這些知識按“概念與計量單位—計算方法或公式—實際應用”的線索進行。

複習周長與面積的意義，以回憶和辨認為主要教學活動，讓學生說說對周長與面積的理解，可以聯絡例項進行解釋。練習與實踐第5題分別比較方格紙上兩組圖形的周長與面積，進一步體會周長與面積是存在於封閉圖形上的兩個不同的概念。

複習長度單位和麵積單位，讓每個學生都用學過的單位描述身邊的事物，在交流時就能整理出常用的長度單位千米、米、分米、釐米、毫米，整理出常用的面積單位平方千米、公頃、平方米、平方分米、平方釐米。練習與實踐第2題以用紙折出1平方分米的正方形順帶複習其他面積單位的意義，通過1平方分米的正方形最多能分成幾個1平方釐米的正方形，複習相鄰單位間的進率。

複習長度單位和麵積單位要重視兩點：一是讓學生選擇用手比畫、語言描述、實物演示等方法表達1個單位是多長或多大，如1米大約是多長，1平方米是多大；二是要整理並記住相鄰單位間的進率，下圖就是一種整理方式。

複習周長與面積計算公式的教學活動主要是回憶和整理。

立體圖形是六年級教學的，圓柱、圓錐還是本冊教材的新授內容。因此，立體圖形的知識容易回憶，複習的目的不侷限於回憶，還要整合知識，進一步精簡和優化原有的認知結構。首先理解“正方體是特殊的長方體”，體會正方體具有長方體的全部特徵。接著從意義和演算法兩個方面把長方體、正方體、圓柱的表面積聯絡起來，體會它們的表面積是所有面的面積總和，都是側面積與兩個底面積的總和，而且側面積都可以通過“底面周長×高”計算。最後還用“底面積×高”概括長方體、正方體和圓柱的體積計算公式。通過這些整合，學生對立體圖形的認識能提升一個層次，不再孤立地理解、記憶各個立體圖形的表面積、體積的計算方法。

教材安排了許多有利於發展空間觀念的學習活動，有觀察幾何體，把從正面、上面、側面看到的圖形畫下來，或者根據給定的檢視想像和做出立體；把平面圖形繞它的一條邊旋轉，體會形成的立體；補充長方體的表面展開圖，設計正方體的表面展開圖；還要解答開放的實際問題。

（4） 在方格紙上畫圖形，複習圖形與變換的知識。

在圖形與變換這一節裡，複習的內容有軸對稱圖形、平移、旋轉以及圖形的放大與縮小等。

先回憶學過的圖形變換，整理成圖形位置變化和圖形大小變化兩類。理解平移、旋轉都是改變圖形位置的方法，不改變圖形的大小；圖形按比例放大、縮小，是改變圖形大小的方法，不改變圖形的形狀。這些都是關於圖形變換的基礎知識。軸對稱圖形是一類特殊的平面圖形，它的對稱軸的兩邊形狀、大小完全相同，而且沿對稱軸對摺圖形，對稱軸的兩邊能完全重合。

練習與實踐讓學生在方格紙上畫圖形，進一步體會圖形的變換。其中第2題集中了國小階段教學的圖形變換的全部內容，在前面的教學中進行過這些畫圖活動。第3題綜合應用平移與軸對稱兩個知識。圓是軸對稱圖形，經過圓心的直線都可以看作圓的對稱軸。把圓與線段組合成軸對稱圖形，應著重思考線段的對稱軸的位置。第（3）個問題引導學生觀察畫成的軸對稱圖形和它的對稱軸，體會對稱軸通過圓心並和已知線段垂直，而且把這條線段平均分成兩段。第4題把圖形按比例縮小後，計算新圖形與原來圖形的面積的比，再次體會“按1∶2的比縮小”是把圖形每條邊的長度變成原來的1/2，這個比不是面積縮小的比，進一步理解圖形按比例放大或縮小的含義。

（5） 在確定位置的活動中，複習圖形與位置的知識。

確定位置的方法是逐漸教學的，先是聯絡個體經驗，用上、下、前、後、左、右描述位置；再是聯絡生活常識，用東、南、西、北等八個方向詞描述位置；然後既要描述方向，又要描述距離，比較準確地描述位置。另外，還可以用數對錶示位置。

複習圖形與位置，在具體情境中應用知識，進一步體會確定位置的常用方法。練習與實踐在第1題的問題（1）裡複習方向知識，應先確定平面圖上的東、南、西、北，再確定東北、東南、西北、西南，動物園裡任何兩個景點的位置關係都可以用這些方向詞描述。問題（2）用數對錶示位置，要提醒學生遵照“橫排是行、豎排是列”的規定，先寫出各景點所在的列數，再寫所在的行數。如孔雀園在第6列第4行，表示它所在位置的數對是（6， 4）。第2題用方向和距離確定位置，要引導學生注意兩點： 一是描述方向只能用北偏東（西）或南偏東（西）若干度，不能隨意改變說法；二是把比例尺1∶50000轉化成“圖上1釐米表示實際500米”，容易進行圖上距離與實際距離的相互換算。第3題描述行走路線，進一步掌握方向知識。一般應要求學生口述，不必以書面形式回答。如果要求學生寫出行走的方向與路線，應該用填空的形式。如從東園向（）偏（）（）°方向行到興民巷。另外，這題不宜要求學生說出從淮定橋到紅梅新村的行走方向。

複習統計與概率領域的知識，教材分統計、可能性兩節編排。

（1） 注重資料統計活動，突出收集、整理、描述與利用資訊的過程。

新課程中，統計知識的教學觀念發生了很大變化，不再片面追求製作統計圖表的方法和技術，把描述資訊、利用資訊進行判斷與推理作為統計教學的重要內容。

總複習堅持新的教學觀念，突出以下三點：

第一， 回顧開展過的調查活動，積累收集、整理資料的經驗。

第二，選擇合適的描述資料的方式，使資料內容具有直觀性。第1題為兩組資料選擇合適的統計圖。第2題裡的複式條形圖是以前沒有見過的，在這幅圖上能直接看到各興趣小組的總人數，但瞭解各組的女生人數不如以前的條形統計圖方便。編排這道題不僅展示了複式條形統計圖的又一種形式，更能讓學生感受不同形式的統計圖各有特點，也各有不足。

第三， 利用資料進行分析、判斷、估計，發展統計觀念。第5題的第（2）、（3）兩個問題，要利用統計圖裡的資料進行計算。通過這些習題的教學，讓學生體會提出問題和回答問題是資料分析活動，通過資料分析還能獲得新的資料，從而對事情瞭解得更多、更清楚。平均數、中位數和眾數都是統計量，經常用於資料分析。由於中位數、眾數在本冊教材裡剛教過，所以結合應用進行復習，複習的重點是正確選用統計量反映一組資料的基本情況。第6題的男生中有2人的體重超過50千克，比其他人重得多，反映這組男生體重的一般情況用中位數較合適。女生的體重都比較接近，沒有過重或過輕的，平均數和中位數都能反映這組女生的體重狀況。

（2） 描述事件發生的可能性，進行合理的推斷和預測。

可能性的教學聯絡生活實際，從最簡單的現象開始，逐步深入。二年級初步接觸隨機事件，三年級體會事件發生的可能性有大、有小或相等，四年級結合遊戲中的可能性體會規則的公平性，六年級用分數（百分數）刻畫事件發生的可能性有多大。本節教材複習可能性知識，有三個特點。

第一，通過三個討論題，分兩步回憶學過的內容。“舉例說明事件發生的可能性”是對已學內容的一般性回憶，可以聯絡各個年級的內容和活動作具體的解釋。通過回憶進一步體會有些事情是確定的，有些是不確定的，可能性描述的是不確定事件的發生情況。舉出用分數表示可能性的大小和遊戲規則公平的例項，能啟用可能性相等或不相等的經驗，體會描述可能性的方式是多樣而靈活的，分數（百分數）能定量地表達可能性的大小。有層次地回憶知識，形成了關於可能性的認知結構。

第二，編排五個實際問題，分層次地應用可能性的知識。練習與實踐裡的習題分三個層次設計，第1~3題用詞語或百分數描述可能性，是最基礎的知識。第4題識別遊戲規則是否公平，應用可能性的知識。第5題用分數刻畫可能性，提高表達和應用可能性的能力。三個層次與前幾年教學可能性的線索一致，體現了由簡單到稍複雜，認知與應用相結合的過程。

第三，讓學生溫故知新，主動地複習。練習與實踐選用學生熟悉而喜歡的素材創設隨機事件的情境，能呼叫已有的知識經驗，通過主動解決實際問題，深入領會可能性。第1、2題用形象的詞語描述轉盤、摸球時的可能性，要先體會“經常”“偶爾”的具體含義，再與“可能性很大”“可能性較小”建立對應聯絡，把生活經驗與直覺感受提升成數學思維。第3題首次用百分數表示概率，在理解這個百分數意義的基礎上，分析明天下雨的可能性，體會“降雨概率80%”表示下雨的可能性很大。第4題用可能性的知識分析遊戲規則，體會公平的遊戲規則，各種情況發生的可能性相等。第5題先求出摸到紅桃的可能性是1/4，複習用分數表示可能性的思路。摸到其他花色的可能性，可以像摸到紅桃那樣分別計算，也可以把摸到紅桃的可能性1/4向其他花色推理。對不同的方法進行交流與解釋，能進一步體驗可能性相等。摸到“紅桃A”的可能性與摸到“A”的可能性是否相同，可以分別計算以後比較，也可以利用12張牌裡“紅桃A”的張數與“A”的張數進行分析與推理，進一步體驗可能性不相等。

“實踐與綜合應用”作為一個內容領域，有助於學生了解數學與生活的廣泛聯絡，增強對數學和數學學習的興趣；應用所學的知識和方法解決實際問題，加強對知識的理解，形成必要的技能；獲得用數學解決問題的思考方法，學會與他人合作交流。

（1） 從大背景切入，發揮題材的教育作用。

（2） 聯絡生活，體現數學的實際應用。

（3） 重視過程，指導方法，培養能力。