高三數學數列教案

一、課前檢測

1.在數列{an}中，an=1n+1+2n+1++nn+1，又bn=2anan+1，求數列{bn}的前n項的和.

解：由已知得：an=1n+1(1+2+3++n)=n2，

bn=2n2n+12=8(1n-1n+1) 數列{bn}的前n項和為

Sn=8[(1-12)+(12-13)+(13-14)++(1n-1n+1)]=8(1-1n+1)=8nn+1.

2.已知在各項不為零的數列 中， 。

(1)求數列 的通項;

(2)若數列 滿足 ，數列 的前 項的和為 ，求

解：(1)依題意， ，故可將 整理得：

所以 即

，上式也成立，所以

(2)

二、知識梳理

(一)前n項和公式Sn的定義：Sn=a1+a2+an。

(二)數列求和的方法(共8種)

5.錯位相減法：適用於差比數列(如果 等差， 等比，那麼 叫做差比數列)即把每一項都乘以 的公比 ，向後錯一項，再對應同次項相減，轉化為等比數列求和。

如：等比數列的前n項和就是用此法推導的.

解讀：

6.累加(乘)法

解讀：

7.並項求和法：一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為並項求和.

形如an=(-1)nf(n)型別，可採用兩項合併求。

解讀：

8.其它方法：歸納、猜想、證明;週期數列的求和等等。

解讀：

三、典型例題分析

題型1 錯位相減法

例1 求數列 前n項的和.

解：由題可知{ }的通項是等差數列{2n}的通項與等比數列{ }的通項之積

設 ①

② (設制錯位)

①-②得 (錯位相減)

變式訓練1 (2010昌平模擬)設數列{an}滿足a1+3a2+32a3++3n-1an=n3，nN*.

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)設bn=nan，求數列{bn}的前n項和Sn.

解：(1)∵a1+3a2+32a3++3n-1an=n3， ①

當n2時，a1+3a2+32a3++3n-2an-1=n-13. ②

①-②得3n-1an=13，an=13n.

在①中，令n=1，得a1=13，適合an=13n， an=13n.

(2)∵bn=nan，bn=n3n.

Sn=3+232+333++n 3n， ③

3Sn=32+233+334++n 3n+1. ④

④-③得2Sn=n 3n+1-(3+32+33++3n)，

即2Sn=n 3n+1-3(1-3n)1-3， Sn=(2n-1)3n+14+34.

小結與拓展：

題型2 並項求和法

例2 求 =1002-992+982-972++22-12

解： =1002-992+982-972++22-12=(100+ 99)+(98+97)++(2+1)=5050.

變式訓練2 數列{(-1)nn}的前2010項的`和S2 010為( D )

A.-2010 B.-1005 C.2010 D.1005

解：S2 010=-1+2-3+4-5++2 008-2 009+2 010

=(2-1)+(4-3)+(6-5)++(2 010-2 009)=1 005.

小結與拓展：

題型3 累加(乘)法及其它方法：歸納、猜想、證明;週期數列的求和等等

例3 (1)求 之和.

(2)已知各項均為正數的數列{an}的前n項的乘積等於Tn= (nN*)，

，則數列{bn}的前n項和Sn中最大的一項是( D )

A.S6 B.S5 C.S4 D.S3

解：(1)由於 (找通項及特徵)

= (分組求和)= =

=

(2)D.

變式訓練3 (1)(2009福州八中)已知數列 則 , 。答案：100. 5000。

(2)數列 中， ，且 ，則前2010項的和等於( A )

A.1005 B.2010 C.1 D.0

小結與拓展：

四、歸納與總結(以學生為主，師生共同完成)

以上一個8種方法雖然各有其特點，但總的原則是要善於改變原數列的形式結構，使

其能進行消項處理或能使用等差數列或等比數列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決，只要很好地把握這一規律，就能使數列求和化難為易，迎刃而解。