有關等差數列知識點整理
概念
等差數列是常見數列的一種，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。
例如：1,3,5,7,9……2n-1。
通項公式為：an=a1+(n-1)*d。首項a1=1，公差d=2。
前n項和公式為：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。
注意：以上n均屬於正整數。
公式
通項公式
如果一個等差數列的首項為a1，公差為d，那麼該等差數列第n項的表示式為：
即
補充：
求和公式
若一個等差數列的首項為a1，末項為an那麼該等差數列和表示式為：
S=(a1+an)n2
即(首項+末項)項數2
前n項和公式
注意：n是正整數(相當於n個等差中項之和)
等差數列前N項求和，實際就是梯形公式的妙用：
上底為：a1首項，下底為a1+(n-1)d，高為n。
即[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.
推論
一.從通項公式可以看出，a(n)是n的一次函式(d0)或常數函式(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由前n項和公式知，S(n)是n的'二次函式(d0)或一次函式(d=0，a10)，且常數項為0。
二. 從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…
=a(k)+a(n-k+1)，(類似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1))，k{1,2,…,n}
三.若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=
(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差數列，等等。
若m+n=2p,則a(m)+a(n)=2*a(p)
(對3的證明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)
p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因為m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p
(q))
四.其他推論
① 和=(首項+末項)項數2
(證明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2
(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n))
證明原理見高斯演算法
項數=(末項-首項)公差+1
(證明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)
② 首項=2x和項數-首項或末項-公差(項數-1)
③ 末項=2x和項數-首項
(以上2項為第一個推論的轉換)
④ 末項=首項+(項數-1)公差
(上一項為第二個推論的轉換)
推論3證明
若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)
+a(q)
如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d
=2*a(1)+(m+n-2)*d
同理得，
a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d
又因為
m+n=p+q ;
a(1),d均為常數
所以
若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)
若m，n，pN*，且m+n=2p，則有a(m)+a(n)=2a(p)
注：1.常數列不一定成立
2.m,p,q,n屬於自然數
⑤2(前2n項和-前n項和)=前n項和+前3n項和-前2n項和
等差中項
等差中項即等差數列頭尾兩項的和的一半.但求等差中項不一定要知道頭尾兩項.
等差數列中，等差中項一般設為A(r).當A(m),A(r),A(n)成等差數列時。
A(m)+A(n)=2A(r),所以A(r)為A(m)，A(n)的等差中項，且
為數列的平均數。並且可以推知n+m=2r。
且任意兩項a(m)，a(n)的關係為：a(n)=a(m)+(n-m)*d，(類似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1)，相當容易證明
它可以看作等差數列廣義的通項公式。
等差數列的應用日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別
時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。
若為等差數列，且有a(n)=m,a(m)=n.則a(m+n)=0。
其實，中國古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經》提到等差數列了：
今有女子不善織布，逐日所織的布以同數遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問共織幾何?
書中的解法是：並初、末日織布數，半之，餘以乘織訖日數，即得。
這相當於給出了S(n)=(a(1)+a(n))/2*n的求和公式。
基本性質編輯
⑴數列為等差數列的重要條件是：數列的前n項和S 可以寫成S = an^2 + bn的形式(其中a、b為常數).
⑵在等差數列中，當項數為2n (n N+)時，S偶-S奇 = nd，S奇S偶=ana(n+1);當項數為(2n-1)(n N+)時，S奇—S偶=a(中)，S奇-S偶=項數*a(中) ，S奇S偶 =n(n-1).
⑶若數列為等差數列，則Sn，S2n -Sn ，S3n -S2n，…仍然成等差數列，公差為k^2d .
(4)若數列{an}與{bn}均為等差數列，且前n項和分別是Sn和Tn，則am/bm=S2m-1/T2m-1.
⑸在等差數列中，S = a，S = b (nm)，則S = (a-b).
⑹等差數列中， 是n的一次函式，且點(n， )均在直線y = x + (a - )上.
⑺記等差數列的前n項和為S .①若a 0，公差d0，則當a 0且an+10時，S 最大;②若a 0 ，公差d0，則當a 0且an+10時，S 最小.
[8)若等差數列S(p)=q,S(q)=p,則S(p+q)=-(p+q)
r次等差數列
為什麼等差數列的學習中，對公差和首項特別的關注，因為公差和首項可以作為等差數列一切變化的切入點。當我們有更好的切入點後，我們可以毫不猶豫的拋棄公差和首項。
假設一個基En(x)=[1,x,x^2,...,x^k]，轉換矩陣A為k+1階方陣，b=[b0,b1,b2,...,bk]。b同En的長度一樣(k+1)。b表示b的轉置。當k=1時，我們可以稱為一次數列。k=r時，我們可以稱為r次數列。(x,k只能取自然數)
p(x)=En(x)*b
s(x)=x*En(x)*A*b
m+n=p+q(m、n、p、qN*)則am+an=ap+aq
一次數列的性質
1.p1(x),p2(x)均為一次數列，則p1(x)p2(x)與c*p1(x)p2(x)(c為非零常數)也是一次數列。p(x)是一次函式，(n,p(x))構成直線。
2.p(m)-p(n)=En(m)*b-En(n)*b=(En(m)-En(n))*b=[0,m-n]*b
3.m+n=p+q - p(p)+p(q)=p(m)+p(n)
(證明:m+n=p+q - En(m)+En(n)=En(p)+En(q)
p(m)+p(n)=En(m)*b+En(n)*b=(En(m)+En(n))*b
p(p)+p(q)=(En(p)+En(q))*b=(En(m)+En(n))*b=p(m)+p(n)
4.從p(x)=En(x)*b中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是一次數列，其一次項係數為k*b(1)( k為取出項數之差)，常項係數未知。
5.在一次數列中，從第二項起，每一項(有窮數列末項除外)都是它前後兩項的平均數.
6.當一次項係數b(1)0時，數列中的數隨項數的增大而增大;當b(1)0時，數列中的數隨項數的減少而減小;b(1)=0時，數列中的數等於一個常數.
等差數列的判定
1、a(n+1)--a(n)=d (d為常數、n N*)[或a(n)--a(n-1)=d，n N*，n 2,d是常數]等價於{a(n)}成等差數列。
2、2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [nN*] 等價於{a(n)}成等差數列。
3、a(n)=kn+b [k、b為常數,nN*] 等價於{a(n)}成等差數列。
4、S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B為常數，A不為0，n N* ]等價於{a(n)}為等差數列。
