什麼是無理數及其定義是什麼

無理數最早是由畢達哥拉斯學派弟子希伯索斯發現，那麼什麼是無理數?下面小編就帶大家一起來詳細瞭解下吧。

無理數，即非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會迴圈。 常見的無理數有大部分的平方根、π和e(其中後兩者同時為超越數)等。無理數的另一特徵是無限的連分數表示式。傳說中，無理數最早由畢達哥拉斯學派弟-子希伯斯發現。他以幾何方法證明無法用整數及分數表示。而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示，不相信無理數的存在。但是他始終無法證明不是無理數，後來希伯斯將無理數透露給外人——此知識外洩一事觸犯學派章程——因而被處死，其罪名等同於“瀆神”。

無理數是無限不迴圈小數和開方開不盡的數. 如圓周率、√2(根號2)等。

有理數是所有的分數，整數，它們都可以化成有限小數，或無限迴圈小數。如22/7等。

實數(real number)分為有理數和無理數(irrational number)。

有理數可分為整數(正整數、0、負整數)和分數(正分數、負分數)

也可分為正有理數，0，負有理數。

除了無限不迴圈小數以外的數統稱有理數。

1、把有理數和無理數都寫成小數形式時，有理數能寫成整數、小數或無限迴圈小數，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數只能寫成無限不迴圈小數，

比如√2=1.414213562…………根據這一點,人們把無理數定義為無限不迴圈小數。

2、無理數不能寫成兩整數之比。

利用有理數和無理數的主要區別，可以證明√2是無理數。

證明：假設√2不是無理數，而是有理數。

既然√2是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：

√2=p/q

再假設p和q沒有公因數可以約，所以可以認為p/q 為最簡分數,即最簡分數形式。

把 √2=p/q 兩邊平方

得 2=(p^2)/(q^2)

即 2(q^2)=p^2

由於2q^2是偶數，p 必定為偶數，設p=2m

由 2(q^2)=4(m^2)

得 q^2=2m^2

同理q必然也為偶數，設q=2n

既然p和q都是偶數，他們必定有公因數2，這與前面假設p/q是最簡分數矛盾。這個矛盾是由假設√2是有理數引起的。因此√2是無理數。

1.判斷a√b是否無理數(a，b是整數)

若a√b是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：

a√b=c/d(c/d是最簡分數)

兩邊a次方得b=c^a/d^a 即c^a=b*(d^a)c^a一定是b的整數倍，設c^a=b^n*p 同理b*(d^a) 必然也為b的整數倍，設b*(d^a)=b*(b^m*q). 其中p和q都不是b的整數倍

左邊b的因子數是a的倍數，要想等式成立，右邊b的因子數必是a的倍數，推出若且唯若b是完全a次方數，a√b才是有理數，否則為無理數。

對畢達歌拉斯而言，當時的數學知識只能認識到整數，雖然分數 總可以用正數表達。數學之美在於有理數能解釋一切自然現象。這種起指導作用的哲學觀使畢氏對無理數的存在視而不見，甚至導致他一個學生被處死。

　　無理數的發現

畢達哥拉斯的學生希伯斯，他試圖找出根號2的等價分數，最終他認識到根本不存在這個分數，也就是說根號2是無理數，希帕索斯對這發現，喜出望外，但是他的老師畢氏卻不悅。

希帕索斯在研究勾股定理時，發現了一種新的數，而這種數是不符合他老師的宇宙理論的。希伯斯發現，如果直角三角形兩條直角邊都為1，那麼，它的斜邊的長度就不能歸結為整數或整數之比(應該等於，是一個無理數)。更令畢達哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用數學方法證實了這種新數存在的合理性，而證明的方法─歸謬法，又是畢達哥拉斯學派常用的。

因為畢氏已經用有理數解釋了天地萬物，無理數的存在會引起對他信念的懷疑。希帕索斯經洞察力獲致的成果一定經過了一段時間的論和深思熟慮，畢氏本應接受這新數源。然而，畢氏始終不願承認自己的錯誤，卻又無法經由邏輯推理推翻希帕索斯的論證。使他終身蒙羞的是，他竟然判決將希帕索斯淹死。這是希臘數學的最大悲劇，只有在他死後無理數才得以安全的被討論著。後來，歐幾里德以反證法證明根號2是無理數。

　　沉重的打擊

可以想象，畢達哥拉斯學派受到了多麼沉重的.打擊。小小的竟然動搖了他們慘淡經營的宇宙理論。怎麼辦?畢達哥拉斯的可悲，在於他不敢視這個新的數學問題，而是企圖藉助宗教信條來維護他的權威。他搬出學派的誓言，揚言要嚴懲敢於“洩密”的人。然而，真理從來就不是權劫的奴僕，真理的聲音是誰也封鎖不了的。漸漸地，有一種新的數存在的訊息傳揚了開去。

這一發現實際上是推翻了教派原來的論斷，觸犯了這個學派的信條。他們不許希帕索斯洩露存在根2(即無理數)的祕密，但是天真的希帕索斯在無意中向別人談到了他的發現。後來畢達哥拉斯教派為了維護教派的信條，以破壞教規為理由將希帕索斯裝進大口袋扔進了大海。希帕索斯因為發現了根號2“無理數”的存在，為揭示了一個科學的真理而付出了生命的代價。

同時該教派犯下了將發現無理數存在的教派成員、畢達哥拉斯的學生希帕索斯迫害致死的罪行。這是數學史上一個最著名的悲劇。他那傳奇般的一生給後代留下了許多的故事與傳說。

然而像根號2這樣的“無理數”存在的事實，卻不可能一扔了之，由此引發了數學史上第一次危機，也帶來了數學思想一次大的飛躍。認識無理數的存在告訴我們，矛盾的存在說明人的認識還具有某種侷限性，需要有新的思想和理論來解釋。我們只有突破固有思維模式的束縛，才能開闢新的領域和方向，科學才能夠繼續發展。

科學無止境，認識無禁區，那些事先為科學設定條條框框的，最後將變成阻礙科學進步的阻力，必然被時代的所拋棄。

　　進步的代價

希伯斯由於違背了學派的誓言，遭受到殘酷的迫害。不久，他就失蹤了。畢達哥拉斯派的人說，那是海神普賽登懲罰了“叛逆”的希伯斯，海神颳起大風暴衝散了希伯斯的船隊，然後就捲起海浪吞沒了他........。但是，誰會相信這些騙人的鬼話呢?

這類無理數的發現，是數學史上一個重要的發現。希伯斯為此獻出了生命，但我們欣忍地看到，數學卻因此又前進了一步。