九年級數學教案正切和餘切

九年級數學教案 正切和餘切

　　一、教學目標

1.使學生了解正切、餘切的概念,能夠正確地用 、 表示直角三角形(其中一個銳角為 )中兩邊的比,瞭解 與 成倒數關係,熟記30、45、60角的各個三角函式值,會計算含有這三個非凡銳角的三角函式值的式子,會由一個非凡銳角的三角函式值說出這個角的度數,瞭解一個銳角的正切(餘切)值與它的餘角的餘切(正切)值之間的關係。

2.逐步培養學生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力。

3.培養學生獨立思考、勇於創新的精神。

　　二、學法引導

1.教學方法:運用類比法指導學生探索研究新知。

2.學生學法:運用類比法主動探索研究新知。

　　三、重點、難點、疑點及解決辦法

1.重點:瞭解正切、餘切的概念,熟記非凡角的正切值和餘切值。

2.難點:瞭解正切和餘切的概念。

3.疑點:正切與餘切概念的混淆.

4.解決辦法:通過類比引出概念和性質,再通過大量直接應用,鞏固概念和性質。

　　四、教具預備

投影機、投影片(自制)、三角板

　　五、教學步驟

　　(一)明確目標

1.什麼是銳角 的正弦、餘弦?(結合下圖回答)。

2.填表

3.互為餘角的正弦值、餘弦值有何關係?

4.當角度在0~90變化時,銳角的正弦值、餘弦值有何變化規律?

5.我們已經把握一個銳角的正弦(餘弦)是指直角三角形中該銳角的對邊(鄰邊)與斜邊的比值,那麼直角三角形中,兩直角邊的比值與銳角的關係如何呢?在銳角三角函式中,除正、餘弦外,還有其他一些三角函式,本節課我們學習正切和餘切。

　　(二)整體感知

正切、餘切的概念,也是本間的重點和關鍵,是全章知識的基礎,對學生今後的學習或工作都十分重要,教材在繼第一節正弦和餘弦後,又以同樣的順序安排第二節正切餘切,像這樣,把概論、計算和應用分成兩塊,每塊自與一個整體小迴圈,第二迴圈又包含了第一迴圈的內容,可以有效地克服難點,同時也使學生通過對比,便於把握銳角三角函式的有關知識。

　　(三)教學過程

1.引入正切、餘切概念

①本節課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關係,因此同學們首先應思考:當銳角固定時,兩直角邊的比值是否也固定?

因為學生在研究過正弦、餘弦概念之後,已經接觸過這類問題,所以大部分學生能口述證實,並進一步猜測兩直角邊的比值一定是正切和餘切。

②給出正切、餘切概念。

如圖,在 中,把 的對邊與鄰邊的比叫做 的正切,記作 。

即

並把 的鄰邊與對邊的比叫做 的餘切,記作 ,

即

2. 與 的關係

請學生觀察 與 的表示式,得結論 (或 , )這個關係式既重要又易於把握,必須讓學生深刻理解,並與 區別開.

3.銳角三角函式

由上圖, , , , ,把銳角 的正弦、餘弦、正切、餘切都叫做 的銳角三角函式。

銳角三角函式概念的給出,使學生茅塞頓開,初步理解本節題目。

問:銳角三角函式能否為負數?

學生回答這個問題很輕易。

4.非凡角的三角函式。

①教師出示幻燈片

請同學推算30、45、60角的正切、餘切值。(如下圖)

;

;

;

;

;

.

通過學生計算完成表格的過程,不僅複習鞏固了正切、餘切概念,而且使學生熟記非凡角的正切值與餘切值,同時滲透了數形結合的數學思想。

0,90正切值與餘切值可引導學生查正切和餘切表,學生完全能獨立查出。

5.根據互為餘角的正弦值與餘弦值的關係,結合圖形,引導學生髮現互為餘角的正切值與餘切值的關係。

結論:任意銳角的正切值等於它的餘角的餘切值,任意銳角的餘切值等於它的餘角的正切值。

即 , .

練習:1)請學生回答 與 的值各是多少? 與 ? 與 呢?學生口答之後,還可以為程度較高的學生設定問題: 與 有何關係?為什麼? 與 呢?

2)把下列正切或餘切改寫成餘角的餘切或正切:

(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) 。

6.例題

例1求下列各式的值:

(1) ;

(2) .

解:(1)

;

(2)

=2.

練習1.求下列各式的值:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

2.填空:

(1)

(2)若 ,則銳角

(3)若 ,則銳角

學生的計算能力可能不很強,尤其是分式,二次根式的運算,因此這裡應查缺補漏,以培養學生運算能力。

(四)總結擴充套件

請學生小結:本節課瞭解了正切、餘切的概念及 與 關係.知道非凡角的正切餘切值及互為餘角的正切值與餘切值的關係.本課用到了數形結合的數學思想.

結合 及 ,可擴充套件為 .

　　六、佈置作業

1.看教材P12~P14,培養學生看書習慣。

2.教材P16中習題6.2A組2、3、4、5、6.

　　七、板書設計

　　第二課時

　　一、教學目標

1.鞏固正、餘切概念,學會用正、餘切來解決問題.

2.通過例題教學,培養學生分析問題、解決問題的能力; 通過歸納、概括,培養學生邏輯思維能力。

3.培養學生獨立思考、勇於創新的精神及良好的學習習慣。

　　二、學法引導

1.教學方法:指導探索研究法。

2.學生學法:主動探索研究法。

　　三、重點、難點、疑點及解決辦法

1.重點:用正、餘切解直角三角形。

2.難點:靈活運用正切、餘切。

3.疑點:學生可能對正切、餘切概念把握不牢,導致出現 之類的錯誤,教學中應引起重視,使學生熟能生巧。

4.解決辦法:通過教師精心引導,學生積極思維,主動研究發現,及練習鞏固解決重難點及疑點。

　　四、教具預備

投影機(或電腦)、自制投影片(或課件)、三角板

　　五、教學步驟

　　(一)明確目標

結合圖,說出什麼是 的正切、餘切?

請班級裡較差學生回答,以檢測其把握情況.

2. 與 具有什麼關係?

答: (或 或 ).

3.互為餘角的正切值與餘切值具有什麼關係?

答: ,

3.互為餘角的正切值與餘切值具有什麼關係?

答: ,

4.在0~90間,正切、餘切值隨角度變化而變化的規律是什麼?

通過以上四個問題,使學生對新學的知識有了系統的熟悉,便於應用.

對概念的鞏固最好的途徑是配備練習題.因此,教師在引導學生複習有關概念後,應出示練習題(投影片).

1.在 中, 為直角, 、 、 所對的邊分別為 。

①若 , ,則 , , ,

②若 ,則

2.比較大小:

① ②

③ ④

3.計算題:

① ;

② .

　　(二)整體感知

本課安排在本小節末,運用本小節的'知識去解決一個簡單問題,再次為本章第二節解直角三角形做好預備.當然,這個問題只用上一小節學過的正弦、餘弦也可以解決,不過那樣做,就要先求出斜邊 ,解的過程要繁瑣一些。

　　(三)教學過程

1.講授新課

例在 中, 為直角, 所對的邊分別是 ,已知 , ,求 (保留兩位有效數字).

這個題是本大節知識的綜合運用,考查知識點面面俱到,是檢查全體學生是否全面達到教學目標要求有效途徑,教學中應引導學生全體參與,積極地探求各種解法,然後加以比較,優選出最佳方法,以培養學生思維的靈敏性、深刻性,形成良好的思維品質。

分析:本題已知 和 ,求 ,觀察圖不難發現,邊 恰好是 的對邊與鄰邦邊,因此求 可選用以下兩個關係式:(1) ,(2) .

請學生比較一下,哪一個關係計算更簡便呢?答:若選用 ,由此得 ,用 除以含四位有效數字的數,計算比較麻煩;而選用 ,由此得 .用 乘以含四位有效數字的數,計算相對方便.

解: ,

解完例題之後,應引導學生小結:本題顯示了除法與乘法在一定條件下可以互相轉化,其中條件是 與 互為倒數.認真分析和利用這種轉化,有時可使計算簡便.

2.鞏固練習

本節課實際上是對前面課的綜合,通過對前面知識的綜合運用,以培養學生的比較、分析、概括等邏輯思維能力.因此例題後應安排練習題如下:

在 中, 為直角, 、 、 所對的邊分別為 .

(1)已知 , ,求 和 .

(2)已知 , ,求 和 .

(3)已知 , ,求 .

(4)已知 , ,求 .

(5)已知 , ,求 .

(6)已知 , ,求 和 (保留兩位有效數字).

教法說明:給學生足夠的時間,引導學生討論、研究,篩選出最佳關係式使計算簡便,既培養學生計算能力,鞏固所學知識,又能培養學生的思維能力.

[參考答案](1) , ;(2) , ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) , .

3.對學有餘力的學生,可引導其讀教材P15想一想.使學生對正弦、餘弦間的關係,正切、餘切間的關係以及弦、切間的關係有所瞭解,保證知識的完整性,為高中三角函式的學習打下基礎.教師板書

.

　　(四)總結、擴充套件

引導學生總結:1.要認真分析直角三角形中的各邊與角的三角函式關係.2.因為同一個角的正切和餘切可以互相轉化,所以在選用關係時晝選擇乘法使計算較簡便.

　　六、佈置作業

1.看教材P1~P17,培養學生看書習慣。

2.教材P17習題A組7、8,學有餘力的學生可選做B組題。