精選會考數學試題
A級 基礎題
1.(2013年新疆)等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則這個等腰三角形的周長為( )
A.12 B.15 C.12或15 D.18
2.(2013年湖北武漢)在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC邊上的高，則∠DBC的度數是( )
A.18° B.24° C.30° D.36°
3.(2010年廣東深圳)如圖4-2-37，在△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，則∠B的度數是( )
A.40° B.35° C.25° D.20°
4.(2013年山東德州)如圖4-2-38，AB∥CD，點E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，則∠B的度數為( )
A. 68° B.32° C. 22° D.16°
5.(2013年山東濱州)在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，則邊AC的長為________.
6.(2013年山東泰安)如圖4-2-39，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分線DE交AC於點E，交BC的延長線於點F，若∠F=30°，DE=1，則BE的長是________.
7.(2012年吉林)如圖4-2-40，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB於點D，則BD=________.
8.(2011年江蘇無錫)如圖4-2-41，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，若CD=5 cm，則EF=________ cm.
9.(2013年福建莆田)圖4-2-42是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的.三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為2,5,1,2.則最大的正方形E的面積是________.
10.(2013年湖北荊門)如圖4-2-43(1)，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上.
(1)求證：BE=CE;
(2)若BE的延長線交AC於點F，且BF⊥AC，垂足為F，如圖4-2-43(2)，∠BAC=45°，原題設其他條件不變.求證：△AEF≌△BCF.
B級 中等題
11.(2013年浙江紹興)所示的鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架.若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，則∠A的度數是__________.
12.(2013年湖北襄陽)在一張直角三角形紙片中，分別沿兩直角邊上一點與斜邊中點的連線剪去兩個三角形，得到如圖4-2-45所示的直角梯形，則原直角三角形紙片的斜邊長是______________.
13.(2013年遼寧瀋陽)如圖4-2-46，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC於點E，AD⊥BC於點D，∠BAD=45°，AD與BE交於點F，連線CF.
(1)求證：BF=2AE;
(2)若CD=2，求AD的長.
C級 拔尖題
14.(2013年江西)某數學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷瞭如下過程：
[操作發現]
在等腰三角形ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖4-2-47(1)，其中DF⊥AB於點F，EG⊥AC於點G，M是BC的中點，連線MD和ME，則下列結論：①AF=AG=12AB;②MD=ME;③整個圖形是軸對稱圖形;④∠DAB=∠DMB.其中正確的是____________(填序號即可).
[數學思考]
在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖4-2-47(2)，M是BC的中點，連線MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數量和位置關係?請給出證明過程.
[類比探索]
在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內側作等腰直角三角形，如圖4-2-47(3)，M是BC的中點，連線MD和ME，試判斷△MED的形狀.
答：____________________.
(1) (2) (3)
等腰三角形與直角三角形
1.B 2.A 3.C 4.B
5.2 6 6.2 7.2 8.5 9.10
10.證明：(1)∵AB=AC，D是BC的中點，
∴∠BAE=∠CAE.
在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠BAE=∠CAE，AE=AE，
∴△ABE≌△ACE(SAS).
∴BE=CE.
(2)∵∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴△ABF為等腰直角三角形.∴AF=BF.
由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF=∠CBF.
在△AEF和△BCF中，AF=BF，∠AFE=∠BFC=90°，∠EAF=∠CBF，
∴△AEF≌△BCF.
11.12° 解析：設∠A=x.∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x.∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，∴x=12°.即∠A=12°. X Kb 1.
12.2 13或6 2 解析：如圖17
(1)，以點B為直角頂點，BD為斜邊上的中線.在Rt△ABD中，可得BD=13，∴原直角三角形紙片的斜邊EF的長是2 13;如圖17
(2)，以點A為直角頂點，AC為斜邊上的中線，在Rt△ABC中，可得AC=3 2，∴原直角三角形紙片的斜邊EF的長是6 2.
(1) (2)
圖17
13.(1)證明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD.
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE.
又∵∠CDA=∠BDF=90°，
∴△ADC≌△BDF(ASA).∴AC=BF.
∵AB=BC，BE⊥AC，∴AE=EC，即AC=2AE，
∴BF=2AE.
(2)解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=2.
∴在Rt△CDF中，CF=DF2+CD2=2.
∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=FC=2.
∴AD=AF+DF=2+2.
14.解：[操作發現]①②③④
[數學思考]MD=ME，MD⊥ME.證明如下：
圖18
①MD=ME.
如圖18，分別取AB，AC的中點F，G，連線DF，MF，MG，EG，
∵M是BC的中點，
∴MF∥AC，MF=12AC.
又∵EG是等腰直角三角形AEC斜邊上的中線，
∴EG⊥AC，且EG=12AC.
∴MF=EG.
同理可證DF=MG.
∵MF∥AC，
∴∠MFA+∠BAC=180°.
同理可得∠MGA+∠BAC=180°.
∴∠MFA=∠MGA.
又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°.
同理可得∠DFA=90°.
∴∠MFA+∠DFA=∠MGA+∠EGA，
即∠DFM=∠MGE.又MF=EG，DF=MG，
∴△DFM≌△MGE(SAS).∴MD=ME.
②MD⊥ME.
如圖18，設MD與AB交於點H，
∵AB∥MG，∴∠DHA=∠DMG.
又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH，
即∠DHA=∠FDM+90°.
∵∠DMG=∠DME+∠GME，∴∠DME=90°.
即MD⊥ME.
