數學幾何知識點之黃金三角形

黃金三角形

當底角被平分時，角平分線分對邊也成黃金比，並形成兩個較小的等腰三角形。這兩三角形之一相似於原三角形，而另一三角形可用於產生螺旋形曲線。

把五個黃金三角形稱為“小三角形”，拼成的相似黃金三角形稱為“大三角形”。則命題可以理解為：五個小三角形能夠不重疊又不超出地充滿大三角形。要滿足這種填充，必要條件之一是大三角形的每條邊都可以由若干條小三角形的邊相加而成。

根據定義，第一種黃金三角形是腰與底的比值為(√5+1)/2的等腰三角形，頂角為36°，底角為72°。

設小三角形的底為a，則腰為b=(√5+1)a/2，因為大三角形的面積為小三角形的5倍，則大三角形的邊長

為小三角形對應邊長的√5倍，即大三角形的底為A=√5 a，腰為B=√5 *(√5+1)a/2=(√5+5)a/2。

大三角形的腰B與小三角形邊的關係滿足：B=2a+b。

而大三角形的底A與小三角形邊的關係可列舉如下：

2ab

可見大三角形底邊的鄰近區域無法由小三角形不重疊又不超地來填充。故命題錯。

另外一種黃金三角形是腰與底的比值為(√5-1)/2的等腰三角形，頂角為108°，底角為36°。

設小三角形的底為a，則腰為b=(√5-1)a/2。

同樣可以證明：

A=2b+a

2b

a

可見大三角形腰的鄰近區域無法由小三角形不重疊又不超出地填充(圖2)。故命題錯。

事實上，勾為a，股為b=2a的;直角三角形可以滿足命題要求。

顯然，弦c=√a2+b2 =√5 a。

三角形的對應邊：

A=√5 a=c，

B=2A=2c，

C=√5 *(√5a)=5a=2b+a 。

滿足上述必要條件。是否成立還要驗證，結果是對的。本三角形是否唯一滿足命題還不清楚。

頂角36°的.黃金三角形按任意一底角的角平分線分成兩個小等腰三角形，且其中一個等腰三角形的底角是另一個的2倍。頂角是108°的黃金三角形把頂角一個72°和一個36°的角，這條分線也把黃金三角形分成兩個小等腰三角形，且其中一個等腰三角形的底角也是另一個的2倍。

知識歸納：黃金三角形是唯一一種能夠由5個與其全等的三角形生成其相似三角形的三角形。