全國八年級數學競賽試題

數學是客觀事物高度抽象和邏輯思維的產物。以下是全國八年級數學競賽試題，歡迎閱讀。

　　一、選擇題：(本題共有10小題，每小題3分，共30分)

1.下列各組數不可能是一個三角形的邊長的是()

A.1，2，3B.4，4，4C.6，6，8D.7，8，9

考點：三角形三邊關係.

分析：看哪個選項中兩條較小的邊的和不大於最大的邊即可.

解答：解：A、1+2=3，不能構成三角形;

B、4+4>4，能構成三角形;

C、6+6>8，能構成三角形;

D、7+8>9，能構成三角形.

故選A.

點評：本題主要考查了三角形的三邊關係定理：任意兩邊之和大於第三邊，只要滿足兩短邊的和大於最長的邊，就可以構成三角形.

2.若x>y，則下列式子錯誤的是()

A.x﹣2>y﹣2B.x+1>y+1C.﹣5x>﹣5yD.>

考點：不等式的性質.

分析：根據不等式的性質：不等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)，不等號的方向不變;不等式兩邊乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變;不等式兩邊乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變.

解答：解：A、兩邊都減2，故A正確;

B、兩邊都加1，故B正確;

C、兩邊都乘﹣5，故C錯誤;

D、兩邊都除5，故D正確;

故選：C.

點評：主要考查了不等式的基本性質.“0”是很特殊的一個數，因此，解答不等式的問題時，應密切關注“0”存在與否，以防掉進“0”的陷阱.不等式的基本性質：

(1)不等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)，不等號的方向不變.

(2)不等式兩邊乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變.

(3)不等式兩邊乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變.

3.△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，且CD=4，則AB=()

A.4B.8C.10D.16

考點：直角三角形斜邊上的中線.

分析：根據直角三角形斜邊上中線性質求出AB=2CD，代入求出即可.

解答：解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，CD=4，

∴AB=2CD=8，

故選B.

點評：本題考查了直角三角形斜邊上中線性質的應用，解此題的關鍵是能根據直角三角形的性質得出AB=2CD，是一道簡單的題目.

4.下列句子屬於命題的是()

A.正數大於一切負數嗎?B.將16開平方

C.鈍角大於直角D.作線段AB的中點

考點：命題與定理.

分析：根據命題的定義分別對各選項進行判斷.

解答：解：A、正數大於一切負數嗎?為疑問句，它不是命題，所以A選項錯誤;

B、將16開平方為陳述句，它不是命題，所以B選項錯誤;

C、鈍角大於直角是命題，所以C選項正確;

D、作線段的中點為陳述句，它不是命題，所以D選項錯誤.

故選C.

點評：本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那麼…”形式.有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理.

5.對於一次函式y=kx﹣k(k≠0)，下列敘述正確的是()

A.當k>0時，函式經過第一、二、三象限

B.當k>0時，y隨x的增大而減小

C.當k<0時，函式一定交於y軸負半軸一點

D.函式一定經過點(1，0)

考點：一次函式的性質.

分析：根據一次函式與係數的關係對A、B、C進行判斷;根據一次函式上點的座標特徵對D進行判斷.

解答：解：A、當k>0時，﹣k<0，函式經過第一、三、四象限，故本選項錯誤;

B、當k>0時，y隨x的增大而增大，故本選項錯誤;

C、當k<0時，﹣k>0，函式一定交於y軸的正半軸，故本選項錯誤;

D、把x=1代入y=kx﹣k得y=k﹣k=0，則函式一定經過點(1，0)，故本選項正確.

故選：D.

點評：本題考查了一次函式與係數的關係：一次函式y=kx+b(k、b為常數，k≠0)是一條直線，當k>0，經過第一、三象限，y隨x的增大而增大;當k<0，經過第二、四象限，y隨x的增大而減小;與y軸的交點座標為(0，b).

6.在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一條直線上，AB=DE，AC=DF，要使△ABC≌△DEF，還需要新增一個條件是()

===∥DF

考點：全等三角形的判定.

分析：可新增條件BE=CF，進而得到BC=EF，然後再加條件AB=DE，AC=DF可利用SSS定理證明△ABC≌△DEF.

解答：解：可新增條件BE=CF，

理由：∵BE=CF，

∴BE+EC=CF+EC，

即BC=EF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF(SSS)，

故選A.

點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

7.若不等式組有解，則a的取值範圍是()

A.a>2B.a<2C.a≤2D.a≥2

考點：不等式的解集.

分析：根據求不等式解集的方法：小大大小中間找，可得答案.

解答：解：若不等式組有解，則a的取值範圍是a<2.

故選：B.

點評：解答此題要根據不等式組解集的求法解答.求不等式組的解集，應注意：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.

8.已知點A(﹣3，2)與點B(x，y)在同一條平行y軸的直線上，且B點到x軸的矩離等於3，則B點的座標是()

A.(﹣3，3)B.(3，﹣3)C.(﹣3，3)或(﹣3，﹣3)D.(﹣3，3)或(3，﹣3)

考點：座標與圖形性質.

專題：計算題.

分析：利用平行於y軸的直線上所有點的橫座標相同得到x=﹣3，再根據B點到x軸的矩離等於3得到|y|=3，然後求出y即可得到B點座標.

解答：解：∵點A(﹣3，2)與點B(x，y)在同一條平行y軸的直線上，

∴x=﹣3，

∵B點到x軸的矩離等於3，

∴|y|=3，即y=3或﹣3，

∴B點的座標為(﹣3，3)或(﹣3，3).

故選C.

點評：本題考查了座標與圖形性質：利用點的座標計算相應線段的長和判斷線段與座標軸的位置關係.點到座標軸的距離與這個點的座標是有區別的，到x軸的距離與縱座標有關，到y軸的距離與橫座標有關.

9.下列命題是真命題的是()

A.等邊對等角

B.周長相等的兩個等腰三角形全等

C.等腰三角形的角平分線、中線和高線互相重合

D.三角形一條邊的兩個頂點到這條邊上的中線所在直線的距離相等

考點：命題與定理.

分析：根據三角形的邊角關係對A進行判斷;根據全等三角形的判定方法對B進行判斷;根據等腰三角形的性質對C進行判斷;利用三角形全等可對D進行判斷.

解答：解：A、在一個三角形中，等邊對等角，所以A選項錯誤;

B、周長相等的兩個等腰三角形不一定全等，所以B選項錯誤;

C、等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高線互相重合，所以C選項錯誤;

D、三角形一條邊的兩個頂點到這條邊上的中線所在直線的距離相等，所以D選項正確.

故選D.

點評：本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那麼…”形式.有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理.

10.等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是△ABC內一點，OA=6，OB=4，OC=10，O′為△ABC外一點，且△CBO≌△ABO′，則四邊形AO′BO的面積為()

A.10B.16C.40D.80

考點：勾股定理的逆定理;全等三角形的性質;等腰直角三角形.

分析：連結OO′.先由△CBO≌△ABO′，得出OB=O′B=4，OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，根據等式的性質得出∠O′BO=90°，由勾股定理得到O′O2=OB2+O′B2=32+32=64，則O′O=8.再利用勾股定理的逆定理證明OA2+O′O2=O′A2，得到∠AOO′=90°，那麼根據S四邊形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′，即可求解.

解答：解：連結OO′.

∵△CBO≌△ABO′，

∴OB=O′B=4，OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，

∴∠OBC+∠OBA=∠O′BA+∠OBA，

∴∠O′BO=90°，

∴O′O2=OB2+O′B2=32+32=64，

∴O′O=8.

在△AOO′中，∵OA=6，O′O=8，O′A=10，

∴OA2+O′O2=O′A2，

∴∠AOO′=90°，

∴S四邊形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′=×6×8+×4×4=24+16=40.

故選C.

點評：本題考查了等腰直角三角形、全等三角形的性質，勾股定理及其逆定理，四邊形的面積，難度適中，正確作出輔助線是解題的關鍵.

　　二、填空題：(本題共有6小題，每小題4分，共24分)

11.使式子有意義的x的取值範圍是x≤4.

考點：二次根式有意義的條件.

分析：根據二次根式的性質，被開方數大於或等於0，列不等式求解.

解答：解：使式子有意義，

則4﹣x≥0，即x≤4時.

則x的取值範圍是x≤4.

點評：主要考查了二次根式的意義和性質.概念：式子(a≥0)叫二次根式.性質：二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義.

12.圓周長C與圓的半徑r之間的關係為C=2πr，其中變數是C、r，常量是2π.

考點：常量與變數.

分析：根據函式的意義可知：變數是改變的量，常量是不變的量，據此即可確定變數與常量.

解答：解：∵在圓的周長公式C=2πr中，C與r是改變的，π是不變的;

∴變數是C，r，常量是2π.

故答案為：C，r;2π.

點評：主要考查了函式的定義.函式的定義：在一個變化過程中，有兩個變數x，y，對於x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應，則y是x的函式，x叫自變數.

13.一個等邊三角形的邊長為2，則這個等邊三角形的面積為.

考點：等邊三角形的性質.

分析：根據等邊三角形三線合一的性質可得D為BC的中點，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根據勾股定理即可求得AD的長，即可求三角形ABC的面積，即可解題.

解答：解：∵等邊三角形高線即中點，AB=2，

∴BD=CD=1，

在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，

∴AD===，

∴S△ABC=BCAD=×2×=，

故答案為：.

點評：本題考查的是等邊三角形的性質，熟知等腰三角形“三線合一”的性質是解題的關鍵.

14.一次函式y=﹣x+4與x軸、y軸分別交於A，B兩點，則線段AB的長為5.

考點：一次函式上點的座標特徵.

分析：先求出A，B兩點的座標，再根據勾股定理即可得出結論.

解答：解：∵一次函式y=﹣x+4與x軸、y軸分別交於A，B兩點，

∴A(3，0)，B(0，4)，

∴AB==5.

故答案為：5.

點評：本題考查的是一次函式上點的座標特點，熟知一次函式上各點的座標一定適合此函式的解析式是解答此題的關鍵.

15.平面直角座標系中有一正方形OABC，點C的座標為(﹣2，﹣1)，則點A座標為(﹣1，2)，點B座標為(﹣3，1).

考點：正方形的性質;座標與圖形性質;全等三角形的判定與性質.

分析：過點A作AD⊥y軸於D，過點C作CE⊥x軸，過點B作BF⊥CE交CE的延長線於F，根據點C的座標求出OE、CE，再根據正方形的性質可得OA=OC=BC，再求出∠AOD=∠COE=∠BCF，然後求出△AOD、△COE、△BCF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD=CE=BF，OD=OE=CF，然後求解即可.

解答：解：過點A作AD⊥y軸於D，過點C作CE⊥x軸，過點B作BF⊥CE交CE的延長線於F，

∵C(﹣2，﹣1)，

∴OE=2，CE=1，

∵四邊形OABC是正方形，

∴OA=OC=BC，

易求∠AOD=∠COE=∠BCF，

又∵∠ODA=∠OEC=∠F=90°，

∴△AOD≌△COE≌△BCF，

∴AD=CE=BF=1，OD=OE=CF=2，

∴點A的座標為(﹣1，2)，EF=2﹣1=1，

點B到y軸的距離為1+2=3，

∴點B的座標為(﹣3，1).

故答案為：(﹣1，2);(﹣3，1).

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，座標與圖形性質，熟記各性質是解題的關鍵，難點在於作輔助線構造出全等三角形.

16.直線l：y=x+2交y軸於點A，以AO為直角邊長作等腰Rt△AOB，再過B點作等腰Rt△A1BB1交直線l於點A1，再過B1點再作等腰Rt△A2B1B2交直線l於點A2，以此類推，繼續作等腰Rt△A3B2B3﹣﹣﹣，Rt△AnBn﹣1Bn，其中點A0A1A2…An都在直線l上，點B0B1B2…Bn都在x軸上，且∠A1BB1，∠A2B1B2，∠A3B2B3…∠An﹣1BnBn﹣1都為直角.則點A3的座標為(14，16)，點An的座標為(2n，2n+2).

考點：一次函式上點的座標特徵;等腰直角三角形.

專題：規律型.

分析：先求出A點座標，根據等腰三角形的性質可得出OB的長，故可得出A1的座標，同理即可得出A2，A3的'座標，找出規律即可.

解答：解：∵直線ly=x+2交y軸於點A，

∴A(0，2).

∵△OAB是等腰直角三角形，

∴OB=OA=2，

∴A1(2，4).

同理可得A2(6，8)，A3(14，16)，…

An(2n+1﹣2，2n+1).

故答案為：(14，16)，(2n+1﹣2，2n+1).

點評：本題考查的是一次函式上點的座標特點，熟知一次函式上各點的座標一定適合此函式的解析式是解答此題的關鍵.

　　三、解答題：(本題共有7小題，共66分)

17.解下列不等式(組)：

(1)4x+5≥1﹣2x

(2)

(3)+﹣×(2+)

考點：二次根式的混合運算;解一元一次不等式;解一元一次不等式組.

專題：計算題.

分析：(1)先移項，然後合併後把x的係數化為1即可;

(2)分別兩兩個不等式，然後根據同大取大確定不等式組的解集;

(3)先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘法運算，然後合併即可.

解答：解：(1)4x+2x≥1﹣5，

6x≥﹣4，

所以x≥﹣;

(2)，

解①得x≥，

解②得x≥﹣1，

所以不等式的解為x≥;

(3)原式=2+﹣(2+2)

=2+﹣2﹣2

=﹣2.

點評：本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然後合併同類二次根式.也考查了零指數冪和負整數指數冪.也考查瞭解一元一次不等式和解一元一次不等式組.

18.已知△ABC，其中AB=AC.

(1)作AC的垂直平分線DE，交AC於點D，交AB於點E，連結CE

(2)在(1)若BC=7，AC=9，求△BCE的周長.

(2)首先根據等腰三角形的性質，得到AB=AC=9，再根據垂直平分線的性質可得AE=CE，進而可算出周長.

解答：解：(1)直線DE即為所求;

(2)∵AB=AC=9，

∵DE垂直平分AB，

∴AE=EC，

∴△BCE的周長=BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=16.

19.已知y是關於x的一次函式，且當x=1時，y=﹣4;當x=2時，y=﹣6.

(1)求y關於x的函式表示式;

(2)若﹣2

(3)試判斷點P(a，﹣2a+3)是否在函式的圖象上，並說明理由.

考點：待定係數法求一次函式解析式;一次函式的性質;一次函式圖象上點的座標特徵.

分析：(1)利用待定係數法即可求得函式的解析式;

(2)求得x=﹣2和x=4時，對應的y的值，從而求得y的範圍;

(3)把P代入函式解析式進行判斷即可.

解答：解：(1)設y與x的函式解析式是y=kx+b，

根據題意得：，

解得：，

則函式解析式是：y=﹣2x﹣2;

(2)當x=﹣2時，y=2，當x=4時，y=﹣10，則y的範圍是：﹣10

(2)當x=a是，y=﹣2a﹣2.則點P(a，﹣2a+3)不在函式的圖象上.

點評：本題考查了用待定係數法求函式的解析式.先根據條件列出關於字母系數的方程，解方程求解即可得到函式解析式.當已知函式解析式時，求函式中字母的值就是求關於字母系數的方程的解.

20.已知，△ABC的三個頂點A，B，C的座標分別為A(4，0)，B(0，﹣3)，C(2，﹣4).

(1)在平面直角座標系中畫出△ABC，並分別寫出點A，B，C關於x軸的對稱點A′，B′，C′的座標;

(2)將△ABC向左平移5個單位，請畫出平移後的△A″B″C″，並寫出△A″B″C″各個頂點的座標.

(3)求出(2)中的△ABC在平移過程中所掃過的面積.

分析：(1)根據網格結構找出點A、B、C以及點A′，B′，C′位置，然後順次連線即可，再根據平面直角座標系寫出各點的座標;

(2)根據網格結構找出點A、B、C向左平移5個單位的對應點A″、B″、C″，然後順次連線即可，再根據平面直角座標系寫出各點的座標;

(3)根據△ABC掃過的面積等於一個平行四邊形的面積加上△ABC的面積列式計算即可得解.

解答：解：(1)△ABCA′(4，0)，B′(0，3)，C′(2，4);

(2)△A″B″C″A″(﹣1，0)，B″(﹣5，﹣3)，C″(﹣3，﹣4);

(3)△ABC在平移過程中所掃過的面積=5×4+(4×4﹣×4×3﹣×1×2﹣×2×4)，

=20+(16﹣6﹣1﹣4)，

=20+5，

=25.

21.△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF

(1)求證：△ABE≌△CBF;

(2)若∠CAE=25°，求∠ACF的度數.

考點：全等三角形的判定與性質.

分析：(1)運用HL定理直接證明△ABE≌△CBF，即可解決問題.

(2)證明∠BAE=∠BCF=25°;求出∠ACB=45°，即可解決問題.

解答：解：(1)在Rt△ABE與Rt△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF(HL).

(2)∵△ABE≌△CBF，

∴∠BAE=∠BCF=25°;

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠ACB=45°，

∴∠ACF=70°.

點評：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質的應用問題;準確找出隱含的相等或全等關係是解題的關鍵.

22.某商店銷售A型和B型兩種型號的電腦，銷售一臺A型電腦可獲利120元，銷售一臺B型電腦可獲利140元.該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的3倍.設購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元.

(1)求y與x的關係式;

(2)該商店購進A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售利潤最大?

(3)若限定商店最多購進A型電腦60臺，則這100臺電腦的銷售總利潤能否為13600元?若能，請求出此時該商店購進A型電腦的臺數;若不能，請求出這100臺電腦銷售總利潤的範圍.

考點：一次函式的應用.

分析：(1)據題意即可得出y=﹣20x+14000;

(2)利用不等式求出x的範圍，又因為y=﹣20x+14000是減函式，所以得出y的最大值，

(3)據題意得，y=(100+m)x+140(100﹣x)，即y=(m﹣40)x+14000，分三種情況討論，①當00，y隨x的增大而增大，分別進行求解.

解答：解：(1)由題意可得：y=120x+140(100﹣x)=﹣20x+14000;

(2)據題意得，100﹣x≤3x，解得x≥25，

∵y=﹣20x+14000，﹣20<0，

∴y隨x的增大而減小，

∵x為正整數，

∴當x=25時，y取最大值，則100﹣x=75，

即商店購進25臺A型電腦和75臺B型電腦的銷售利潤最大;

(3)據題意得，y=(100+m)x+140(100﹣x)，即y=(m﹣40)x+14000，

25≤x≤60

①當0

∴當x=25時，y取最大值，

即商店購進25臺A型電腦和75臺B型電腦的銷售利潤最大.

②m=40時，m﹣40=0，y=14000，

即商店購進A型電腦數量滿足25≤x≤60的整數時，均獲得最大利潤;

③當400，y隨x的增大而增大，

∴當x=60時，y取得最大值.

即商店購進60臺A型電腦和40臺B型電腦的銷售利潤最大.

點評：本題主要考查了一次函式的應用，二元一次方程組及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是根據一次函式x值的增大而確定y值的增減情況.

23.直線l1：y1=﹣x+2與x軸，y軸分別交於A，B兩點，點P(m，3)為直線l1上一點，另一直線l2：y2=x+b過點P.

(1)求點P座標和b的值;

(2)若點C是直線l2與x軸的交點，動點Q從點C開始以每秒1個單位的速度向x軸正方向移動.設點Q的運動時間為t秒.

①請寫出當點Q在運動過程中，△APQ的面積S與t的函式關係式;

②求出t為多少時，△APQ的面積小於3;

③是否存在t的值，使△APQ為等腰三角形?若存在，請求出t的值;若不存在，請說明理由.

考點：一次函式綜合題.

分析：(1)把P(m，3)的座標代入直線l1上的解析式即可求得P的座標，然後根據待定係數法即可求得b;

(2)根據直線l2的解析式得出C的座標，①根據題意得出AQ=9﹣t，然後根據S=AQ|yP|即可求得△APQ的面積S與t的函式關係式;②通過解不等式﹣t+<3，即可求得t>7時，△APQ的面積小於3;③分三種情況：當PQ=PA時，則(t﹣7+1)2+(0﹣3)2=(2+1)2+(0﹣3)2，當AQ=PA時，則(t﹣7﹣2)2=(2+1)2+(0﹣3)2，當PQ=AQ時，則(t﹣7+1)2+(0﹣3)2=(t﹣7﹣2)2，即可求得.

解答：解;(1)∵點P(m，3)為直線l1上一點，

∴3=﹣m+2，解得m=﹣1，

∴點P的座標為(﹣1，3)，

把點P的座標代入y2=x+b得，3=×(﹣1)+b，

解得b=;

(2)∵b=，

∴直線l2的解析式為y=x+，

∴C點的座標為(﹣7，0)，

①由直線l1：y1=﹣x+2可知A(2，0)，

∴當Q在A、C之間時，AQ=2+7﹣t=9﹣t，

∴S=AQ|yP|=×(9﹣t)×3=﹣t;

當Q在A的右邊時，AQ=t﹣9，

∴S=AQ|yP|=×(t﹣9)×3=t﹣;

即△APQ的面積S與t的函式關係式為S=﹣t+或S=t﹣;

②∵S<3，

∴﹣t+<3或t﹣<3

解得t>7或t<11.

③存在;

設Q(t﹣7，0)，

當PQ=PA時，則(t﹣7+1)2+(0﹣3)2=(2+1)2+(0﹣3)2

∴(t﹣6)2=32，解得t=3或t=9(捨去)，

當AQ=PA時，則(t﹣7﹣2)2=(2+1)2+(0﹣3)2

∴(t﹣9)2=18，解得t=9+3或t=9﹣3;

當PQ=AQ時，則(t﹣7+1)2+(0﹣3)2=(t﹣7﹣2)2，

∴(t﹣6)2+9=(t﹣9)2，解得t=6.

故當t的值為3或9+3或9﹣3或6時，△APQ為等腰三角形.